Hola
Bien, justamente necesito ayuda para resolver el problema considerando que los coeficientes sean complejos.
Seguro que los expertos del foro te podrán ayudar con algún método más adecuado y eficaz; a mí solo se me ocurre suponer que el polinomio es de la forma \( p(z)=2(z-4i)(z-3)\left(\dfrac{1}{2}z^2+\omega z+\gamma\right) \) con \( \omega, \gamma\in\mathbb{C} \) y hacer la división polinómica por \( (3z+6) \) e igualando el resto a \( 400 \), hallar \( \omega \) y \( \gamma \), pero me parece un poco tedioso. Espera un poco y te podrán ayudar otros foristas.
Tanto en el caso real como en el complejo la condición de que al dividir por \( 3z+6 \) el resto sea \( 400 \) equivale a que \( A(-2)=400 \) (donde \( z=-2 \) es la raíz de \( 3z+6=0 \))
Spoiler
Esto es consecuencia del Teorema del Resto o directamente de que si dividimos un polinomio por \( ax+b \) se expresa:
\( p(x)=c(x)(ax+b)+resto \)
Además también en el caso real y complejo, que sea divisible por \( 2z-6=2(z-3) \) equivale a que sea divisible por \( z-3 \).
Entonces en el caso complejo con los datos dados lo único que sabemos es que el polinomio es de la forma:
\( A(z)=(z-4i)(z-3)(z^2+pz+q) \)
con \( A(-2)=400 \), es decir:
\( \color{red}400\color{black}=(-2-4i)\cdot (-5)\cdot(4-2p+q) \)
de donde \( q=(386 - 20 i) + 2 p \).
\( A(z)=(z-4i)(z-3)(z^2+pz+(386 - 20 i) + 2 p) \)
Hay por tanto infinitos polinomios con coeficientes complejos cumpliendo lo pedido.
Saludos.
P.D. Si se quiere directamente la factorización habría que escribir:
\( A(z)=(z-4i)(z-3)(z-p)(z-q) \)
\( A(-2)=400 \)
y despejar \( q \) en función de \( p \). Quedaría:
\( q=\dfrac{2 (p+(-193+10 i))}{p+2} \)
CORREGIDO
