Hola
Si es \( \omega=re^{i\theta} \) entonces \( \omega^2=r^2e^{i2\theta} \), es decir, \( Arg(\omega^2)=2Arg(\omega) \). Por tanto, como \( z^{\frac{2}{3}}=\left(z^{\frac{1}{3}}\right)^2\Longrightarrow Arg(z^{\frac{2}{3}})=2Arg(z^{\frac{1}{3}}) \)
Saludos
Hay que tener un poco de cuidado con esa igualdad.
Si por argumento entendemos argumento principal (bien sea en \( [0,2\pi) \) ó en \( (-\pi,\pi] \)) esa igualdad no es cierta siempre. Por ejemplo si consideramos argumentos en \( (-\pi,\pi] \):
\( arg(-1)=\pi \)
\( arg((-1)^2)=arg(1)=0\neq 2\pi \)
Para que se cumpliese tendría que ocurrir que \( 2arg(z)\in (-\pi,\pi]) \).
Si consideramos \( arg(z) \) como el conjunto de argumentos de [tez]z[/tex], es decir, si [tez]z=re^{i\theta}[/tex],
\( arg(z)=\{\theta+2k\pi|k\in \Bbb Z\} \)
Entonces \( arg(2z) \) sería:
\( arg(2z)=\{2\theta+2k\pi|k\in \Bbb Z\} \)
y tampoco es cierto conjuntistamente que \( arg(2z)=2arg(z) \).
En el caso que preguntaba
Faramalla si nos ceñimos al argumento principal por ejemplo en \( (-\pi,\pi] \) y a su vez entendemos que en las potencias fraccionarias nos quedamos con las raíces principales (o las ramas del logaritmo principales) se tiene que \( z^{2/3},z^{1/3}\in (-\pi,\pi] \) y la relación que indica si es cierta.
Saludos.
