Hola
Te puedo ayudar con el error de Taylor primer diagrama rojo. En general cuando una función f con n+1 derivadas continuas se aproxima por un polinomio de Taylor en el punto con \( x=x_0 \) en un intervalo \( [x_0-r,x_0+r] \) se tiene la igualdad :
\( f(x)=P_n(x)+R_n(x) \) donde \( P_n(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^n{\displaystyle\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k}, \ x\in{[x_0-r,x_0+r]} \) es el polinomio de Taylor de grado n y \( R_n(x) \) es el error, es decir la diferencia entre el valor real y el dado por el polinomio, para un x que pertenece al intervalo dado. El error en efecto es como valor absoluto :
\( \left |{R_n(x)}\right |=\displaystyle\frac{\left |{f^{(n+1)}(\xi(x))}\right | \ \left |{x-x_0}\right |^{n+1}}{(n+1)!}, \ \) donde \( \xi(x) \) esta entre \( x_0 \) y x
En este caso \( x_0=0, \ n=4 \) considerando que \( f(x)=e^x \) esta función es infinitamente derivable y sus derivadas son ella misma, y siendo esta función estrictamente creciente se tiene :
\( \forall{x}\in{[-1,1]}, \ f^{n+1}(\xi(x))=e^{\xi(x)}\leq{e} \) Inec 1
\( \forall{x}\in{[-1,1]}, \ \left |{x}\right |\leq{1}\Rightarrow{\left |{x}\right |^5\leq{1}} \) Inec 2
Por lo tanto, por ser términos positivos, multiplicando las Inec 1 y 2 :
\( \left |{R_n(x)}\right |\leq{\displaystyle\frac{e}{(4+1)!}}\Rightarrow{\left |{R_n(x)}\right |\leq{\displaystyle\frac{e}{120}}} \)
Saludos
