[petras]

En el gráfico, \( CK=2, CS=3 \) y \( AM= MK \). Calcule \( ML  \)si \( ABCD  \) es un rectángulo. (R:\( 0,5) \)

[ani_pascual]

Hola:

En el gráfico, \( CK=2, CS=3 \) y \( AM= MK \). Calcule \( ML  \)si \( ABCD  \) es un rectángulo. (R:\( 0,5) \)

Si no me he equivocado...

Spoiler

Sin completar todos los detalles...

Usando el teorema de Menelao, el teorema de la altura, el teorema de los catetos y el de Pitágoras... \(
\left\{\begin{array}{l}\dfrac{\overline{BK}}{2}\cdot\dfrac{2}{1}\cdot\dfrac{\overline{DS}}{\overline{BD}}=1\\
3^2=\overline{DS}\cdot \overline{BS}\\\overline{BC}^2=\overline{BS}\cdot(\overline{BS}+\overline{DS})\end{array}\right.
\Longrightarrow \cdots \Longrightarrow \overline{BC}=6,\,\overline{BK}=4,\,\overline{CD}=2\sqrt{3},\,\overline{DS}=\sqrt{3},\,\overline{BS}=3\sqrt{3},\,\alpha=60^{\circ},\, \widehat{BKA}=40,89^{\circ}\Longrightarrow \widehat{OKD}=79,1^{\circ}\Longrightarrow\\ \widehat{KOD}=\widehat{LOM}=70,89^{\circ}\Longrightarrow \overline{ML}=\overline{OM}\,\sen \widehat{LOM}\simeq \boxed{0,5} \)
El segmento \( \overline{OM}=\dfrac{\sqrt{7}}{5} \) se puede hallar gracias a la semejanza de los triángulos \( \triangle{BOK}\sim  \triangle{DOA}  \) usando que \( \overline{AM}=\overline{MK} \)

[cerrar]

Saludos

[petras]

Hola:

En el gráfico, \( CK=2, CS=3 \) y \( AM= MK \). Calcule \( ML  \)si \( ABCD  \) es un rectángulo. (R:\( 0,5) \)

Si no me he equivocado...

Spoiler

Sin completar todos los detalles...

Usando el teorema de Menelao, el teorema de la altura, el teorema de los catetos y el de Pitágoras... \(
\left\{\begin{array}{l}\dfrac{\overline{BK}}{2}\cdot\dfrac{2}{1}\cdot\dfrac{\overline{DS}}{\overline{BD}}=1\\
3^2=\overline{DS}\cdot \overline{BS}\\\overline{BC}^2=\overline{BS}\cdot(\overline{BS}+\overline{DS})\end{array}\right.
\Longrightarrow \cdots \Longrightarrow \overline{BC}=6,\,\overline{BK}=4,\,\overline{CD}=2\sqrt{3},\,\overline{DS}=\sqrt{3},\,\overline{BS}=3\sqrt{3},\,\alpha=60^{\circ},\, \widehat{BKA}=40,89^{\circ}\Longrightarrow \widehat{OKD}=79,1^{\circ}\Longrightarrow\\ \widehat{KOD}=\widehat{LOM}=70,89^{\circ}\Longrightarrow \overline{LM}=\overline{OM}\sen \widehat{LOM}\simeq \boxed{0,5} \)
El segmento \( \overline{OM}=\dfrac{\sqrt{7}}{5} \) se puede hallar gracias a la semejanza de los triángulos \( \triangle{BOK}\sim  \triangle{DOA}  \) usando que \( \overline{AM}=\overline{MK} \)

[cerrar]

Saludos

Agradecdo

¿Cómo llegaste a BC=6?

[ani_pascual]

Hola:

¿Cómo llegaste a BC=6?

Spoiler

Aplicando el teorema de Menelao en el triángulo  \( \triangle{BCS} \) se tiene que \( \dfrac{\overline{BK}}{2}\cdot\dfrac{2}{1}\cdot\dfrac{\overline{DS}}{\overline{BD}}=1\Longleftrightarrow
\overline{BK}\cdot\overline{DS}=\overline{BD} \). Por el teorema del cateto en el triángulo rectángulo \( \triangle{BCD} \) se obtiene \( \overline{BC}^2=\overline{BS}\cdot\overline{BD} \) y por el teorema de la altura en el mismo triángulo rectángulo es \( 3^2=\overline{DS}\cdot\overline{BS} \). Por tanto, \( \overline{BK}\cdot \overline{DS}=\dfrac{\overline{BC}^2}{\overline{BS}}\Longrightarrow \overline{BK}\cdot \overline{DS}\cdot\overline{BS}=\overline{BC}^2\Longleftrightarrow \overline{BK}\cdot 3^2=\overline{BC}^2\Longrightarrow 9(\overline{BC}-2)=\overline{BC}^2\Longrightarrow \overline{BC}=6 \). El otro resultado \( \overline{BC}=3 \) se descarta, ya que conduce a que \( \overline{BS}=0 \)
Por otra parte,
\( \dfrac{\overline{AM}+\overline{OM}}{6}=\dfrac{\overline{MK}-\overline{OM}}{4}\Longleftrightarrow \dfrac{\overline{AM}+\overline{OM}}{6}=\dfrac{\overline{AM}-\overline{OM}}{4}\Longrightarrow 10\overline{OM}=2\overline{AM}\Longleftrightarrow \overline{OM}=\dfrac{\overline{AM}}{5}=\dfrac{\sqrt{7}}{5} \) ya que \(
\overline{AM}=\dfrac{\sqrt{4^2+(2\sqrt{3})^2}}{2} \)

[cerrar]

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Otra forma:

Spoiler

 Por ser \( KCP \) isósceles \( CP=KC=2 \) y \( PS=CS-CP=3-2=1 \).

 Los triángulos rectángulos \( KCD \) y \( PSD \) son semejantes por tener uno de los ángulos no rectángulos iguales (el \( \alpha \)). Entonces:

\( \dfrac{KC}{PS}=\dfrac{CD}{SD}\quad \Leftrightarrow{}\quad
\dfrac{2}{1}=\dfrac{CD}{SD} \)

 De donde \( CD=2SD \) y asi \( 90-\alpha=30 \) y \( \alpha=60 \). De ahí los triángulos \( CDS \), \( DPS \), \( BCD \) son los tres semejantes (de hecho son la mitas de un triángulo equilátero) y así:

- En \( CDS \), \( CD=\dfrac{2CS}{\sqrt{3}}=\dfrac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3} \).
- En \( BCD \), \( BD=2CD=4\sqrt{3} \) y \( BC=\dfrac{BC\cdot \sqrt{3}}{2}=6 \).

Para terminar es cómodo meter ahora coordenadas con el origen en el punto \( A=(0,0) \)

\( B=(0,2\sqrt{3}) \), \( C=(6,0) \), \( K=(4,2\sqrt{3}) \).

\( M=\dfrac{A+K}{2}=(2,\sqrt{3}) \)

Recta \( BD \): \( \dfrac{x}{6}+\dfrac{y}{2\sqrt{3}}=1\quad\Leftrightarrow{} \quad x+\sqrt{3}y-6=0 \)
 
\( d(L,M)=d(M,recta_{BD})=\dfrac{|2+\sqrt{3}\sqrt{3}-6|}{\sqrt{1+3}}=\dfrac{1}{2} \)

[cerrar]

Saludos.

[petras]

Agradecido a todos

[ani_pascual]

Hola:

Agradecido a todos

Otra forma de hallar \( \overline{ML} \) en la fase final, sin recurrir al cálculo de ángulos, permite llegar al resultado exacto:

Spoiler

Llamando \( \beta=\widehat{KOD}=\widehat{LOM} \). Se tiene que \( \overline{OK}=\overline{MK}-\overline{OM}=\sqrt{7}-\dfrac{\sqrt{7}}{5}=\dfrac{4\sqrt{7}}{5} \). Por el teorema del seno en el triángulo \( \triangle{OKD} \) se tiene \( \dfrac{4}{\sen\beta}=\dfrac{4\sqrt{7}}{5\cdot sen 30^{\circ}}\Longrightarrow \sen\beta=\dfrac{5}{2\sqrt{7}}\Longrightarrow \overline{ML}=\overline{OM}\cdot \sen\beta=\dfrac{\sqrt{7}}{5}\cdot \dfrac{5}{2\sqrt{7}}=\dfrac{1}{2} \)

[cerrar]

Saludos

[petras]

Hola:

Agradecido a todos

Otra forma de hallar \( \overline{ML} \) en la fase final, sin recurrir al cálculo de ángulos, permite llegar al resultado exacto:

Spoiler

Llamando \( \beta=\widehat{KOD}=\widehat{LOM} \). Se tiene que \( \overline{OK}=\overline{MK}-\overline{OM}=\sqrt{7}-\dfrac{\sqrt{7}}{5}=\dfrac{4\sqrt{7}}{5} \). Por el teorema del seno en el triángulo \( \triangle{OKD} \) se tiene \( \dfrac{4}{\sen\beta}=\dfrac{4\sqrt{7}}{5\cdot sen 30^{\circ}}\Longrightarrow \sen\beta=\dfrac{5}{2\sqrt{7}}\Longrightarrow \overline{ML}=\overline{OM}\cdot \sen\beta=\dfrac{\sqrt{7}}{5}\cdot \dfrac{5}{2\sqrt{7}}=\dfrac{1}{2} \)

[cerrar]

Saludos

Excelente

Agradecido