[Rodrigo Quintana]

Buenas! Necesito un empujón con este ejercicio de análisis I.

Demuestra que \( \forall{x}>0 \) y \( \forall{a}\in{\mathbb{R}} \) se cumple que \( -a\cdot{e}\cdot{\ln(x)}\le x^{-a} \).

Saludos!

[ani_pascual]

Hola:

Buenas! Necesito un empujón con este ejercicio de análisis I.

Demuestra que \( \forall{x}>0 \) y \( \forall{a}\in{\mathbb{R}} \) se cumple que \( -a\cdot{e}\cdot{\ln(x)}\le x^{-a} \).

Saludos!

Hola:
Sugerencia:
La recta tangente en \( t=e \) de la función \( f(t)=\ln t  \) es \( y=\dfrac{t}{e} \). Por otra parte, el orden del infinito \( \dfrac{t}{e} \) es mayor que el de \( \ln t  \)
Luego, sustituye \( t \) por \( x^{-a} \)
Saludos

Añadido

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[Luis Fuentes]

Hola

Buenas! Necesito un empujón con este ejercicio de análisis I.

Demuestra que \( \forall{x}>0 \) y \( \forall{a}\in{\mathbb{R}} \) se cumple que \( -a\cdot{e}\cdot{\ln(x)}\le x^{-a} \).

Depende un poco de exactamente en qué resultados y teoría previa puedes basarte. Si consideras la función:

\( f(x)=x^{-a}+a\cdot e\cdot ln(x) \) en \( (0,+\infty) \)

Es continua y diferenciable. Si derivamos:

\( f'(x)=-ax^{-a-1}+\dfrac{ae}{x}=\dfrac{a}{x}(e-x^{-a}) \)

La derivada se anula en \( x_0=e^{-1/a} \), y es negativa en \( (0,x_0) \) y positiva en \( (x_0,+\infty). \)

Por tanto el punto crítico es un mínimo absoluto. Pero \( f(x_0)=0 \) y así \( f(x)\geq f(x_0) \) en todo el dominio.

Saludos.

[thadeu]

Buenas! Necesito un empujón con este ejercicio de análisis I.

Demuestra que \( \forall{x}>0 \) y \( \forall{a}\in{\mathbb{R}} \) se cumple que \( -a\cdot{e}\cdot{\ln(x)}\le x^{-a} \).

Saludos!

La desigualdad es equivalente a.

$$ey\leq{e^y}$$, con $$y$$ en los reales
Pero claramante el caso difícil es cuando
$$y\geq{0}$$
Viendo la convexidad (concavidad) $$f(x)=ex-e^x$$, además de  $$f(1)=0$$  es fácil concluir que $$f(x)\leq{0}$$

[Fernando Revilla]

Demuestra que \( \forall{x}>0 \) y \( \forall{a}\in{\mathbb{R}} \) se cumple que \( -a\cdot{e}\cdot{\ln(x)}\le x^{-a} \).

Otra forma. Es fácil verificar que la función

    \( f:(0,+\infty)\to \mathbb{R},\quad f(t)=\displaystyle\frac{\ln t}{t} \)
tiene un máximo absoluto en \( t=e \) siendo este máximo \( f(e)=\displaystyle\frac{1}{e}. \) Es decir,
    \( \displaystyle\frac{\ln t}{t}\le \displaystyle\frac{1}{e} \) para todo \( t > 0. \)

Basta ahora sustituir \( t=x^{-a} \).

[Rodrigo Quintana]

Disculpad por la tardanza. He entendido todas las formas, muchas gracias a todos!