[Melilopez]

Holaaa! buenos días. Me podrian ayudar con esta duda...

Se analiza la continuidad de una función con dominio en los reales excepto el (0,0).
Tanto los límites iterados como los direccionales dan como resultado 2, y aún así no se puede afirmar la existencia del límite, de manera que se procede al cálculo por definición y es ahí donde tengo dudas.

Me podrían explicar cuál es el procedimiento de este cálculo? La verdad que estoy siguiendo los apuntes del profesor pero no me queda claro cómo es que se resuelve.

Desde ya muchas gracias!

[ani_pascual]

Hola:

Holaaa! buenos días. Me podrian ayudar con esta duda...

Se analiza la continuidad de una función con dominio en los reales excepto el (0,0).
Tanto los límites iterados como los direccionales dan como resultado 2, y aún así no se puede afirmar la existencia del límite, de manera que se procede al cálculo por definición y es ahí donde tengo dudas.

Me podrían explicar cuál es el procedimiento de este cálculo? La verdad que estoy siguiendo los apuntes del profesor pero no me queda claro cómo es que se resuelve.

Desde ya muchas gracias!

Bienvenido/a al foro; te sugiero echar un vistazo a las reglas del foro y al manual de uso de \( \LaTeX \).
Respecto a tu pregunta, lo que hace el profesor es acotar superiormente el numerador \( \left\{\begin{array}{l}x^4<(x^2+y^2)^2\\y^4<(x^2+y^2)^2\end{array}\right.\Longrightarrow x^4+y^4<2(x^2+y^2)^2\Longrightarrow \left|\dfrac{x^4+2x^2+2y^2+y^4}{x^2+y^2}-2\right|=\cdots =\dfrac{x^4+y^4}{x^2+y^2}<2(x^2+y^2)<\varepsilon,\hspace{1cm}  \) si \( \sqrt{x^2+y^2}<\delta=\sqrt{\dfrac{\varepsilon}{2}} \) luego existe el límite y es dos, con lo que la discontinuidad de la función en el origen es evitable.
Saludos

[Melilopez]

Gracias por la respuesta Ani!
Lo voy a analzar, saludos!

[manooooh]

Hola

La frase resaltada la veo correcta, porque en su dominio (todo el plano salvo el origen) el denominador nunca se anula, por tanto es continua.

Pero luego la oración siguiente dice que se analiza el límite, y en la segunda imagen se llega a que y resalta "la función es discontinua evitable en (0,0)".

¿No era que en puntos donde la función NO está definida no tiene sentido preguntarse por la continuidad (o discontinuidad) de la función? Ya que el (0,0) no pertenece al dominio.

Es una pregunta muy básica pero al ver el problema, y dado que no es una función a trozos, me acordé del hilo del foro sobre el debate de la continuidad de una función.

Gracias y saludos

[Juan Pablo Sancho]

En \( f \) calcula el límite en \( (0,0) \) y ve que la función es continua en todo \( \mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\} \) no está calculando si es continua en el origen , mas bien si tiene límite en el origen, luego puede redefinir la función nombrándola \( f^* \) que es una extensión de \( f \) para que sea continua en \( \mathbb{R}^2 \).

[manooooh]

Hola

En \( f \) calcula el límite en \( (0,0) \) y ve que la función es continua en todo \( \mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\} \) no está calculando si es continua en el origen , mas bien si tiene límite en el origen, luego puede redefinir la función nombrándola \( f^* \) que es una extensión de \( f \) para que sea continua en \( \mathbb{R}^2 \).

Sí, en mi mensaje puse que calculaba un límite. Pero luego dice que la función es discontinua en (0,0), por eso mi pregunta que concluye algo respecto de continuidad en un punto donde la función no está definida. Entonces al principio calcula un límite (bien) y concluye otra cosa (que es discontinua).

Saludos

[Juan Pablo Sancho]

Si , tendría que poner un valor a \( f(0,0) \) para hablar de discontinuidad, entraríamos en la interpretación topológica de límite.

[Luis Fuentes]

Hola

Sí, en mi mensaje puse que calculaba un límite. Pero luego dice que la función es discontinua en (0,0), por eso mi pregunta que concluye algo respecto de continuidad en un punto donde la función no está definida. Entonces al principio calcula un límite (bien) y concluye otra cosa (que es discontinua).

Esto viene de que algunos autores en funciones que no están definida en un punto, pero si en un entorno del mismo consideran que ahí hay una discontinuidad. Ya ha sido tratado este tema en el foro, y suelen ser unas definiciones más propias del bachillerato, que se van abandonando a medida que uno profundiza (si es el caso) en los mismos conceptos en la universidad.

Saludos.