[Richard R Richard]

Hola , tengo una duda voy a exponerla de a poco.


Si quiero mapear cualquier punto de la recta de los reales usando como  base cualquier real no nulo, puedo hacerlo con la combinación lineal multiplicando por un coeficiente que es otro elemento perteneciente a los reales.


Ejemplo , mi base  es $$x=\{1.258\}$$  y puedo representar cualquier $$z\in\mathbb R$$  como $$z=a_1\cdot x$$  cuando $$a_1\in\mathbb R$$  esto me da que la base de x tiene dimensión 1 para mapear cualquier real puedo que siempre tendremos un $$a_1=\dfrac{z}{x}$$ .... Disculpen si no soy riguroso  no sé como serlo mas.


Pero bien, ahora viene la duda.... si porque se me antojara cualquier $$a_i$$ de la base que resulte lo condiciono a  $$a_i\in\mathbb Q$$ sea un racional cual es el tamaño de la base que mapea todos los reales?


Es decir $$\forall z\in \mathbb R$$ existe la forma de calcularlo como $$z =\sum\limits_{i=1}^n a_i\cdot x_i  \quad//\quad a_i\in\mathbb Q \quad//\quad x_i \in \mathbb R $$  cuanto el mínimo  valor de $$n$$  o bien la dimensión de esa base, o es acaso n es infinito como llego a suponer...


Espero haberme explicado ...


Lo digo de otro modo por las dudas teniendo una base de números reales, cualquiera,  es posible hacer una combinación lineal de ellos usando solo  coeficientes racionales, para obtener cualquier otro número real?


Mi lio para comprenderlo pasa por entender que el cociente de dos reales no necesariamente puede dar un numero racional.


Gracias anticipadas
Saludos

[sugata]

Considera la base x={1}
¿Cual es el racional que multiplicado por uno de pi o raíz de 2?

[Carlos Ivorra]

Considera cualquier conjunto finito de números reales, \( x_1, \ldots, x_n \), y llama \( A \) al conjunto de todos los números reales de la forma \( \sum_{i=1}^na_ix_i \), con \( a_i\in \mathbb Q \). Entonces tienes una aplicación suprayectiva: \( f: \mathbb Q^n\longrightarrow A \) dada por

\( f(a_1, \ldots, a_n) = a_1x_1+\cdots +a_nx_n \).

La existencia de una aplicación suprayectiva equivale a la existencia de una inyectiva \( g: A\longrightarrow \mathbb Q^n \), luego concluimos que el cardinal de \( A \) es menor o igual que el de \( \mathbb Q^n \), es decir, que \( A \) es un conjunto numerable, luego no puede ser igual a \( \mathbb R \), que es no numerable. (De hecho, si no partimos de números reales arbitrarios, sino de una supuesta base, entonces la aplicación \( f \) ya es biyectiva.)

Esto prueba que la dimensión de \( \mathbb R \) como espacio vectorial sobre \( \mathbb Q \) no es finita. De hecho, refinando el argumento se puede ver que la dimensión es igual al cardinal de \( \mathbb R \). En otras palabras, una base de \( \mathbb R \) sobre \( \mathbb Q \) tiene que tener tantos números reales como números reales hay en total.

[Richard R Richard]

Un lujo, muchísimas gracias a ambos

[ancape]

Considera la base x={1}
¿Cual es el racional que multiplicado por uno de pi o raíz de 2?

 

[Carlos Ivorra]

Considera la base x={1}
¿Cual es el racional que multiplicado por uno de pi o raíz de 2?

Como supongo que ya habrás deducido de aquí:

Considera la base x={1}
¿Cual es el racional que multiplicado por uno de pi o raíz de 2?

 

Tu respuesta no es correcta, en el sentido de que no responde a la pregunta de Richard.

Richard preguntaba si \( \mathbb R \) puede tener una base finita sobre \( \mathbb Q \), y lo que tú pruebas es que \( \{1\} \) no es una base de \( \mathbb R \) sobre \( \mathbb Q \), pero eso no excluye la posibilidad de que, añadiendo a \( 1 \) un número finito más de números reales (entre ellos \( \pi \) y \( \sqrt 2 \)), pudiéramos conseguir una base como la que buscaba Richard.

Se podría extender tu argumento para acabar exhibiendo explícitamente un conjunto infinito de números reales linealmente independiente sobre \( \mathbb Q \), pero es algo más laborioso que el mero argumento basado en la cardinalidad.

[sugata]

Espero haberme explicado ...


Lo digo de otro modo por las dudas teniendo una base de números reales, cualquiera,  es posible hacer una combinación lineal de ellos usando solo  coeficientes racionales, para obtener cualquier otro número real?


Mi lio para comprenderlo pasa por entender que el cociente de dos reales no necesariamente puede dar un numero racional.


Gracias anticipadas
Saludos

Yo respondo a esto, Carlos.
Y creo que respondo a lo contrario, ahora que lo leo.
De una base racional no sé obtienen todos los reales.
Al revés si.

[Carlos Ivorra]

Yo respondo a esto, Carlos.
Y creo que respondo a lo contrario, ahora que lo leo.
De una base racional no sé obtienen todos los reales.
Al revés si.

¿Pero a qué llamas "base racional"? Tú puedes obtener todos los números reales como combinación lineal con coeficientes racionales de una base de \( \mathbb R \) sobre \( \mathbb Q \) (si es eso a lo que llamas "base racional"). Lo que pasa es que una tal base es necesariamente infinita. Richard preguntaba:

Es decir $$\forall z\in \mathbb R$$ existe la forma de calcularlo como $$z =\sum\limits_{i=1}^n a_i\cdot x_i  \quad//\quad a_i\in\mathbb Q \quad//\quad x_i \in \mathbb R $$  cuanto el mínimo  valor de $$n$$  o bien la dimensión de esa base, o es acaso n es infinito como llego a suponer...

Y eso es cierto, concretamente la segunda opción que plantea, que \( n \) sea infinito. El problema de la reformulación que hace luego, que es la que citas:

Lo digo de otro modo por las dudas teniendo una base de números reales, cualquiera,  es posible hacer una combinación lineal de ellos usando solo  coeficientes racionales, para obtener cualquier otro número real?

Es que es necesario aclarar si hablamos de una base cualquiera sobre \( \mathbb R \) o sobre \( \mathbb Q \). Por que \( \{1\} \) es una base de \( \mathbb R \) sobre \( \mathbb R \), pero no es una base de \( \mathbb R \) sobre \( \mathbb Q \).

Pero entiendo que, viendo el mensaje de Richard completo, él tenía claro que \( \{1\} \) sólo no sirve, y por eso pregunta por el tamaño mínimo necesario para tener una base sobre \( \mathbb Q \). Richard dice que \( \mathbb R \) tiene dimensión 1 sobre \( \mathbb R \) y pregunta cuál es su dimensión sobre \( \mathbb Q \), y él mismo parece tener claro que 1 no es. La respuesta a su pregunta es que la dimensión es infinita (el cardinal de \( \mathbb R \), para ser exactos).

[sugata]

Mi lio para comprenderlo pasa por entender que el cociente de dos reales no necesariamente puede dar un numero racional.


Gracias anticipadas
Saludos

Perdona Carlos, lo entendí al revés.
Entendí:
"el cociente de dos racionales no da necesariamente un real"

[ani_pascual]

Hola:

...
Pero entiendo que, viendo el mensaje de Richard completo, él tenía claro que \( \{1\} \) sólo no sirve, y por eso pregunta por el tamaño mínimo necesario para tener una base sobre \( \mathbb Q \). Richard dice que \( \mathbb R \) tiene dimensión 1 sobre \( \mathbb R \) y pregunta cuál es su dimensión sobre \( \mathbb Q \), y él mismo parece tener claro que 1 no es. La respuesta a su pregunta es que la dimensión es infinita (el cardinal de \( \mathbb R \), para ser exactos).

Una pregunta: Aunque la cardinalidad de cualquier base de \( \mathbb{R} \) como \( \mathbb{Q} \) espacio vectorial sea \( \aleph_1 \), a la hora de expresar cualquier número real como combinación lineal con coeficientes racionales de los vectores de la base, entiendo que la suma ha de ser finita ¿es así?
Saludos