Hola
Sea \( E \) un espacio vectorial sobre un cuerpo \( k \) y \( T \) un endomorfismo de \( E \) diagonalizable con \( e\in{E} \) tal que \( T^r(e)=\overrightarrow{0} \) para algún \( r\in{\mathbb{N}} \), probar que entonces \( e\in{Ker(T)} \).
Se puede enfocar de varias formas dependiendo de los resultados que hayas dado sobre endomorfismos diagonalizables. Pero por ejemplo, con lo más básico.
Por definición si es diagonalizable existe una base de autovectores \( \{u_1,u_2,\ldots,u_n\} \), de manera que \( T(u_i)=\lambda_i\cdot u_i \).
Entonces si \( e=x_1u_1+x_2u_2+\ldots+x_nu_n \) y \( T^r(e)=0 \),
\( 0=T^r(e)=\lambda_1^rx_1u_1+\lambda_2^rx_2u_2+\ldots+\lambda_n^rx_nu_n \)
es decir \( \lambda_i^rx_i=0 \) para \( i=1,2,\ldots,n \), es decir, \( \lambda_i=0 \) ó \( x_i=0 \) para cada \( i=1,2,\ldots,n \). Por tanto:
\( \lambda_ix_i=0 \) para \( i=1,2,\ldots,n \)
y así:
\( T(e)=\lambda_1x_1u_1+\lambda_2x_2u_2+\ldots+\lambda_nx_nu_n=0 \) y \( e\in ker(T) \).
Saludos.
