Tengo el siguiente ejercicio:
Sean \( m, n \in \mathbb{N} \). Comprueba que \( \sqrt m+\sqrt n \in \mathbb{Q} \Leftrightarrow \sqrt m-\sqrt n \in \mathbb{Q} \Leftrightarrow{} \sqrt m,\sqrt n \in \mathbb{Q} \).
He hecho lo siguiente pero no sé si sería lo que piden:
Sean \( q, p, t, u \in \mathbb{Z} \), con \( q,u \neq 0 \). Sean \( \sqrt m=\displaystyle\frac{q}{p}, \sqrt n=\displaystyle\frac{t}{u} \). Sea \( \sqrt m+ \sqrt n=\displaystyle\frac{q}{p}+\displaystyle\frac{t}{u}=\displaystyle\frac{pu+qt}{qu}, \Rightarrow pu+qt \in \mathbb{Z}, qu \in \mathbb{Z} \Rightarrow{} \sqrt m+\sqrt n \in \mathbb{Q} \).
Si \( \sqrt m+\sqrt n \in \mathbb{Q} \Rightarrow \sqrt m-\sqrt n \in \mathbb{Q} \), ya que la resta es la suma del opuesto, y un opuesto también es racional.
Si \( \sqrt m-\sqrt n \in \mathbb{Q}=\displaystyle\frac{pu-qt}{qu} \in \mathbb{Q},\Rightarrow pu-qt \in \mathbb{Z}, qu \in \mathbb{Z} \Rightarrow p,q,t,u \in \mathbb{Z} \Rightarrow \displaystyle\frac{p}{q}=\sqrt m, \displaystyle\frac{t}{u}= \sqrt n \in \mathbb{Q} \Rightarrow \sqrt m,\sqrt n \in \mathbb{Q} \).
Para el lado contrario valdría con partir desde lo último hasta llegar a que la suma de ambos racionales son racionales.
Dos cuestiones, no sé si sería correcto y en el caso de serlo, no he utilizado en ningún momento la hipótesis de que \( m,n \in \mathbb{N} \). Si podéis echar una mano, lo agradecería.
Saludos.
