Hola,
Estoy estudiando la forma canónica racional, la forma normal de Jordan y distintos aspectos de la teoría del endomorfismo.
Mi problema es que nunca me aclaro con los factores invariantes y los divisores elementales de un endomorfismo \( h: V \to V \). Sé que la descomposición de \( V \) en subespacios h-invariantes \( Ra_1 \oplus .... \oplus Ra_r \) tiene que ver con esto ya que a cada \( a_1,....,a_r \) se les asocian los polinomios \( d_1, ...., d_r \) que cumplen \( d_1|....|d_r = polmin(h) \) y estos \( d_1,...,d_r \) son los factores invariantes. Ahora bien, factores invariantes y divisores elementales están muy relacionados y no veo muy clara la diferencia entre ellos, ya que por ejemplo tanto el productorio de los ffii como el de los ddee sirve para obtener el polinomio característico de la matriz asociada al endomorfismo.
Por otro lado, en la práctica no sé cómo se pueden obtener ni los ffii ni los ddee. Pongo un ejemplo para explicarme mejor:
Si tengo una matriz asociada a un polinomio, digamos \( A = \begin{equation} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 6 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} \end{equation} \), el polinomio mínimo de esa matriz sería el polinomio al que está asociada, ¿no? Que es \( x^3 - 2x^2 - x - 6 \) Y coincidiría con su polinomio característico, ¿verdad?
De ahí, ¿cómo puedo sacar el listado de factores invariantes? ¿Y el de divisores elementales?
Creo que si el polinomio mínimo es \( x^3 - 2x^2 - x - 6 = (x-3)(x^2 + x + 2) \), entonces los factores invariantes han de dividirlo, y dividirse entre sí. En este caso, si \( polmin(A) = polcar(A) \), el listado de factores invariantes sería unicamente \( \{(x-3)(x^2 + x + 2) \} \)? ¿ Y cual sería el de los ddee?
Pongo otro ejemplo por si acaso:
Si \( A = \begin{equation} \begin{bmatrix} -5 & -3 & -6 &-3 \\ 0 & -3 & 0 & -2 \\ 3 & 3 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \end{equation} \), de ahí cómo puedo deducir cuáles serán??
Por poner un poco de contexto: en este ejercicio, \( A \) es la matriz asociada a un endomorfismo en la base canónica \( B_c = \{ e_1, e_2, e_3, e_4 \} \) y me pedían sacar el polinomio mínimo de \( e_2 = (0,1,0,0) \). Ahí llegué a que \( polmin(e_2) = (x-1)(x+1)(x+2) \), y que \( polcar(h) = (x-1)(x+1)(x+2)^2 \). Para sacar los ffii y los ddee de \( h \), necesitaría el polinomio mínimo de h porque es el factor invariante más grande, ¿verdad? Pero tengo dos posibilidades: \( polmin(h) = polmin(e_2) \) o \( polmin(h) = polcar(h) \). ¿Cómo lo averiguo?
De verdad, si alguien me aclara algo del lío que llevo en la cabeza, se lo agradecería mucho
