[usuariomates]

Buenas, quiero demostrar que la siguiente sucesión está acotada \( a_{n} = \begin{cases} 1 & \text{si}& n=1 \\ \sqrt{3a_{n-1}-1} & \text{si}&  n>1 \end{cases}  \)
Un saludo.

[Eren]

Puedes demostrar por inducción que \( a_n < 3 \) para todo entero positivo \( n \). Tienes que para \( n = 1 \) esa desigualdad es cierta, pues \( a_1 = 1 < 3 \). Supongamos ahora que \( a_n < 3 \) para cierto entero positivo \( n \). Entonces \( a_{n+1} = \sqrt{3a_n - 1} < \sqrt{3\cdot 3 - 1} = \sqrt{8} < \sqrt{9} = 3 \). Por el principio de inducción matemática, concluimos que \( a_n < 3 \) para todo entero positivo \( n \).

[ani_pascual]

Buenas, quiero demostrar que la siguiente sucesión está acotada \( a_{n} = \begin{cases} 1 & \text{si}& n=1 \\ \sqrt{3a_{n-1}-1} & \text{si}&  n>1 \end{cases}  \)
Un saludo.

Hola:
Parece que puede probarse que es convergente, \( \lim\limits_{n\to\infty}a_n=\textcolor{red}{\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}} \). Por tanto, es acotada.
Corregido
Saludos

[Eren]

Hola:
Parece que puede probarse que es convergente, \( \lim\limits_{n\to\infty}a_n=2 \). Por tanto, es acotada.
Saludos

Hola, ani_pascual.

Pero es que no veo la forma de calcular el límite de esa sucesión sin antes demostrar que dicho límite existe, y eso puede hacerse probando que la sucesión es acotada y monótona creciente. Una vez que se justifica la existencia del límite, es posible argumentar que dicho límite debe cumplir

\( L = \sqrt{3L - 1} \),

con lo cual encontramos que, de hecho,

\( L = \frac{1}{2}(3 + \sqrt{5}) \)

(el otro valor posible para \( L \) que resulta de resolver la ecuación de arriba se descarta por ser menor que \( 1 = a_1 \) y por que la sucesión es creciente).

[ani_pascual]

Hola:
Parece que puede probarse que es convergente, \( \lim\limits_{n\to\infty}a_n=2 \). Por tanto, es acotada.
Saludos

Hola, ani_pascual.

Pero es que no veo la forma de calcular el límite de esa sucesión sin antes demostrar que dicho límite existe, y eso puede hacerse probando que la sucesión es acotada y monótona creciente. Una vez que se justifica la existencia del límite, es posible argumentar que dicho límite debe cumplir

\( L = \sqrt{3L - 1} \),

con lo cual encontramos que, de hecho,

\( L = \frac{1}{2}(3 + \sqrt{5}) \)

(el otro valor posible para \( L \) que resulta de resolver la ecuación de arriba se descarta por ser menor que \( 1 = a_1 \) y por que la sucesión es creciente).

Hola:
Sí, eso es cierto, pensaba que ya lo habías probado. Ya he corregido el resultado   (las prisas)