[frobenius.mates]

Hola!!! LLevo un par de semanas pensando en cómo reoslver esta integral impropia...He probado separando en la integral de 0 a 1 y 1 a infinito, descomponiendo la fracción polinómica en multiplicación de polinomios e intentando hacer integración por partes. Ya no sé por donde seguir!!! Si alguien me puede ayudar estaría muy agradecida.

\[ \displaystyle\int_{0}^{+\infty}\displaystyle\frac{\log^2x}{x^4+x^2+1} \]

Muchas gracias

Latex añadido por un moderador

[ancape]

Hola!!! LLevo un par de semanas pensando en cómo reoslver esta integral impropia...He probado separando en la integral de 0 a 1 y 1 a infinito, descomponiendo la fracción polinómica en multiplicación de polinomios e intentando hacer integración por partes. Ya no sé por donde seguir!!! Si alguien me puede ayudar estaría muy agradecida.

Muchas gracias

Hola
Bienvenida al foro

Por si puede ayudarte, la solución es \( \displaystyle\frac{\pi·log^2\sqrt[ ]{3}}{9} \). La he obtenido con Maple, por lo que no tiene ningún mérito, pero tal vez te ayude.

Saludos

[electron]

Hola.

El resultado correcto es \( \displaystyle\frac{\pi^3}{9\sqrt[ ]{3}} \) (obtenido con Wolfram Mathematica).

Algunas opciones para probar:

1) Hacer el cambio \( t=1/x \)
2) Usar la función \( \displaystyle\frac{x^a}{x^4+x^2+1} \) y derivar dos veces (integración paramétrica)
3) Emplear residuos (el denominador tiene 4 raíces complejas)

Saludos

[ancape]

......

El resultado correcto es \( \displaystyle\frac{\pi^3}{9\sqrt[ ]{3}} \) (obtenido con Wolfram Mathematica).

.......

Tal vez has puesto algo equivocado al hacer la integral con Wolfram, pues Maple sigue dando el resultado que puse antes. Integrando sin límites para obtener la primitiva, tengo:

\( \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{log^2(x)}{x^4+x^2+1}=\displaystyle\frac{log^2\sqrt[ ]{3}·arctan(\displaystyle\frac{(2x^2+1)\sqrt[ ]{3}}
{3})}{3} \)

Si derivas esta primitiva vuelve a salir la función original, por lo que está correctamente integrada.

Saludos

AÑADIDO DESPUÉS
\( \displaystyle\frac{log^2\sqrt[ ]{3}·arctan(\displaystyle\frac{(2x^2+1)\sqrt[ ]{3}}
{3})}{3}_{x=0..\infty}=\displaystyle\frac{\pi·log^2\sqrt[ ]{3}}{9} \)

[Luis Fuentes]

Hola

El resultado correcto es \( \displaystyle\frac{\pi^3}{9\sqrt[ ]{3}} \) (obtenido con Wolfram Mathematica).

De acuerdo con ese resultado.

sofiafrobenius, ¿en qué contexto te aparece esa integral?.

Saludos.

[frobenius.mates]

Hola!!! LLevo un par de semanas pensando en cómo reoslver esta integral impropia...He probado separando en la integral de 0 a 1 y 1 a infinito, descomponiendo la fracción polinómica en multiplicación de polinomios e intentando hacer integración por partes. Ya no sé por donde seguir!!! Si alguien me puede ayudar estaría muy agradecida.

Muchas gracias

Hola
Bienvenida al foro

Por si puede ayudarte, la solución es \( \displaystyle\frac{\pi·log^2\sqrt[ ]{3}}{9} \). La he obtenido con Maple, por lo que no tiene ningún mérito, pero tal vez te ayude.

Saludos

Muchas gracias, intentaré relacionarlo con lo que tengo 

[frobenius.mates]

Hola.

El resultado correcto es \( \displaystyle\frac{\pi^3}{9\sqrt[ ]{3}} \) (obtenido con Wolfram Mathematica).

Algunas opciones para probar:

1) Hacer el cambio \( t=1/x \)
2) Usar la función \( \displaystyle\frac{x^a}{x^4+x^2+1} \) y derivar dos veces (integración paramétrica)
3) Emplear residuos (el denominador tiene 4 raíces complejas)

Saludos

Muchas gracias, trabajaré sobre las indicaciones que me has dado, un saludo

[frobenius.mates]

......

El resultado correcto es \( \displaystyle\frac{\pi^3}{9\sqrt[ ]{3}} \) (obtenido con Wolfram Mathematica).

.......

Tal vez has puesto algo equivocado al hacer la integral con Wolfram, pues Maple sigue dando el resultado que puse antes. Integrando sin límites para obtener la primitiva, tengo:

\( \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{log^2(x)}{x^4+x^2+1}=\displaystyle\frac{log^2\sqrt[ ]{3}·arctan(\displaystyle\frac{(2x^2+1)\sqrt[ ]{3}}
{3})}{3} \)

Si derivas esta primitiva vuelve a salir la función original, por lo que está correctamente integrada.

Saludos

AÑADIDO DESPUÉS
\( \displaystyle\frac{log^2\sqrt[ ]{3}·arctan(\displaystyle\frac{(2x^2+1)\sqrt[ ]{3}}
{3})}{3}_{x=0..\infty}=\displaystyle\frac{\pi·log^2\sqrt[ ]{3}}{9} \)

Gracias por la corrección. Intentaré razonar y obtener este resultado

[frobenius.mates]

Hola

El resultado correcto es \( \displaystyle\frac{\pi^3}{9\sqrt[ ]{3}} \) (obtenido con Wolfram Mathematica).

De acuerdo con ese resultado.

sofiafrobenius, ¿en qué contexto te aparece esa integral?.



Saludos.

Holaa, realmente es un reto que nos propusieron en clase. Como soy nueva en el foro me acabo de dar cuenta de que lo subí al apartado de física porque estuve mirando unas cosas antes.

[Luis Fuentes]

Hola

Tal vez has puesto algo equivocado al hacer la integral con Wolfram, pues Maple sigue dando el resultado que puse antes. Integrando sin límites para obtener la primitiva, tengo:

\( \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{log^2(x)}{x^4+x^2+1}=\displaystyle\frac{log^2\sqrt[ ]{3}·arctan(\displaystyle\frac{(2x^2+1)\sqrt[ ]{3}}
{3})}{3} \)

Si derivas esta primitiva vuelve a salir la función original, por lo que está correctamente integrada.

¡No!. Si tomas:

\( f(x)=\displaystyle\frac{log^2\sqrt[ ]{3}·arctan(\displaystyle\frac{(2x^2+1)\sqrt[ ]{3}}
{3})}{3} \)

Entonces si no me equivoco:

\( f'(x)=\dfrac{log^2\sqrt{3}\sqrt{3}x}{3(x^4+x^2+1)} \)

lo que está claro es que en ningún caso en la derivada va a aparecer un \( log(x) \) porque estás derivando el arcotangente de un polinomio, multiplicado por una constante.

Saludos.