[julian403]

El siguiente símbolo es el del la derivada covariante: \( { \partial }_{u} \), tal que si tengo un vector \(  v = {v}^{u} { e }_{u} \) , donde  \(  {e }_{u} \) son las bases.

Entonces la derivada covariante es: \(  { \partial }_{u} v = \frac{ \partial {v}^{u}}{\partial {x}^{u}} { e }_{u} +  + { v }^{u} \frac{ \partial  { e }_{u}}{\partial {x}^{u}}  \)

Es decir, la derivada covariante indica cuanto indica un vector considerando tanto variaciones en sus componentes como en sus bases. Pero mi pregunta está orientada a si  \( { \partial }_{u} \) es la derivada covariante ¿qué es  \( { \partial }^{u} \)?

[geómetracat]

En mi opinión es un poco naïf la descripción que haces de la derivada covariante porque hay que especificar cómo se calcula lo que llamas \( \frac{\partial e_u}{\partial x_u} \) (que depende de la métrica).

Pero en cualquier caso, sobre tu pregunta, cualquier cosa con un índice arriba es la misma cosa con un índice abajo "subido" usando la métrica. Esto es una convención universal en la notación de índices. Es decir, en tu caso:
\( \partial^u := g^{uv} \partial_v \), donde uso el convenio de Einstein que índices repetidos arriba y abajo se suman (es decir, más explícitamente: \( \partial^u := \sum_v g^{uv} \partial_v \)).

[julian403]

Muchas gracias geómetracat.

Es que no lo entiendo para un operador como la derivada. Por ejemplo para un vector:

\( \left |{v}\right | = \sqrt{ {g}_{uv} {x}^{u}{x}^{v}} = \sqrt{{x}^{u}{x}_{v} } \)

Es decir que con la métrica llevamos un vector contravariante a un vector covariante, es decir a su dual, que nos permite ir (multiplicación dual con espacio vectorial) a los reales. Pero con respecto a una derivada que es un operador, ¿Qué sentido tiene la métrica? ¿Hay una diferencia entre derivada covariante y contravariante?

Saludos y gracias.

[geómetracat]

La derivada covariante \( \partial_u \) es un operador que te lleva de un vector (tensor \( 1 \)-contravariante) a un tensor \( 2 \)-contravariante. Pues el operador \( \partial^u \) te lleva de un vector (tensor \( 1 \)-contravariante) a un tensor \( 1 \)-covariante, \( 1 \)-contravariante, haciendo primero la derivada covariante y después subiendo un índice con la métrica.

Más concretamente, siguiendl la notación que usabas en tu primer mensaje (que no es muy estándar, por cierto), \( \partial^u(v)=g^{uj}\partial_j(v) \). Aquí \( \partial_j(v) \) ya es un tensor (no un operador) por lo que tiene sentido subir un índice con la métrica. La métrica es la de siempre, la de la variedad.

Otro tema es para qué te puede interesar hacer esto, que ya dependerá de tus aplicaciones, pero siempre lo puedes hacer porque en una variedad (pseudo)riemannian la métrica te proporciona un isomorfismo entre los tensores de distintos tipos (covariantes, contravariantes, o mixtos). Quizás si pones más contexto sobre dónde estás encontrando esto te puedo decir más.

Hay otra cosa a tener en cuenta, y es que no hay que confundir esto con la derivada covariante de una \( 1 \)-forma, que es otra cosa distinta. En general, una derivada covariante (de vectores) induce derivadas covariantes de tensores de cualquier tipo, pero la fórmula no es la misma que la de vectores.