Hola,
El ejercicio es el siguiente
a) Demuestra que si $$x_n$$ es de términos positivos entonces si $$lim_{n\rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n}<1$$
entonces $$x_n\rightarrow 0$$.
b)Usa lo anterior para probar que el resto de Taylor desarrollado alrededor de 0 de la exponencial tiende a cero para todo $$x\in \mathbb{R}$$
a) Por definición tengo que dado $$\frac{1-\alpha}{2}>\epsilon>0$$, existe un $$n_0$$ tq(sea $$0<\alpha<1$$) $$ \left |{\frac{x_{n+1}}{x_n}-\alpha}\right |<\epsilon$$
luego
$$\frac{x_{n+1}}{x_n}< \alpha +\epsilon=\bar{\alpha}$$
$$x_{n+1}<\bar{\alpha}x_n$$ esto es $$\forall n\geq n_0$$
Luego podría escribir $$x_m<\bar{\alpha}^{m-n_0} x_{n_0}$$ y ahora sí tomando límite en m tengo que $$x_n \rightarrow 0$$
b) $$P_n(e^x,0)=\displaystyle\sum_{i=0}^n{\frac{x^i}{i!}}$$ luego
$$R_n=e^x-\displaystyle\sum_{i=0}^n{\frac{x^i}{i!}}$$
y por tanto
$$\frac{R_{n+1}}{R_n}=\frac{e^x-\displaystyle\sum_{i=0}^{n+1}{\frac{x^i}{i!}}}{e^x-\displaystyle\sum_{i=0}^n{\frac{x^i}{i!}}}$$
que se puede simplicar a
$$1-\frac{\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}}{e^x-\displaystyle\sum_{i=0}^n{\frac{x^i}{i!}}}$$
Entonces mi idea ahora es probar que el segundo sumando es positivo de modo que entonces $$\frac{R_{n+1}}{R_n}<1$$ pero no soy capaz. ¿Qué me pueden aconsejar?
Un saludo.
