Hola,
Estoy repasando las derivadas en $$\mathbb{R}$$ y tengo el siguiente ejercicio
Sea $$f(x)=\begin{cases}{x^4+x^4sin(\frac{1}{x})}&\text{si}& x\neq 0\\ 0 & \text{si}& x=0\end{cases}$$
Demuestra que f tiene mínimo absoluto en $$x = 0$$, y que su derivada asume valores positivos y negativos
en cualquier entorno de 0, tanto por la derecha como por la izquierda.
Lo primero que hago es derivar y tengo.
$$f'(x)=4x^3(1+sin(\frac{1}{x}))-x^2cos(\frac{1}{x})$$ para $$x\neq 0 $$
y aplicando la definición de derivada sale $$f'(0)=0$$
ahora bien para determinar que ese punto es mínimo quiero aplicar el criterio de la derivada segunda de modo que de existir el límite
$$f''(0)=\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \frac{4x^3(1+sin(\frac{1}{x}))-x^2cos(\frac{1}{x}) - 0}{ x- 0}=lim_{x \rightarrow 0} \frac{4x^3(1+sin(\frac{1}{x}))-x^2cos(\frac{1}{x})}{ x}=\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} 4x^2(1+sin(\frac{1}{x}))-xcos(\frac{1}{x})$$
Y me vuelve a salir 0!!! entonces estamos en un punto de cambio de convexidad pero por el enunciado del ejercicio debería salirme la segunda derivada positiva. ¿Dónde estoy metiendo la pata?
Un saludo
