[nktclau]

Hola Querido amigos del FORO!!! espero todos se encuentren más que bien. 

Necesito, por favor, saber si el razonamiento seguido en el siguiente ejercicio es correcto. Dejaré lo más explícito posible el desarrollo para que sea sencillo analizarlo.

¿Existe una transformación lineal \( T: P_2 \longrightarrow{P_2} \) tal que \( Nu(T)=\left\{{ax^2+bx+c \in P_2: a=2c}\right\} \), \( 3 \) sea autovalor de \( T  \) y \( T \) sea diagonalizable pero no lo sea ortogonalmente?. En caso afirmativo, hallarla. En caso contrario, explicar por qué no es posible hallarla.

Solución

Para saber si existe una TL que verifique lo pedido, primeramente busco una base de \( \mathbb{V}=P_2 \), sé por hipótesis que  \( Nu(T)=\left\{{ax^2+bx+c \in P_2: a=2c}\right\} \Longleftrightarrow{ B_{Nu(T)}=\left\{{2x^2+1, x}\right\}} \) pues ambos vectores son LI, los probé formalmente.

Extiendo entonces esta base a una base de \( P_2 \), \( B=\left\{{2x^2+1, x,1}\right\} \), también probé que este conjunto es LI.

Ahora de acuerdo a los datos dados \( f(x)=\begin{cases} T(2x^2+1)=\vec{0} \\ T(x)=\vec{0}\\ T(1)=3 \end{cases} \)Por teorema de unicidad y existencia para transformaciones lineales, existe una única TL que verifica los transformados dados.

Veamos si es diagonalizable

\( [T]_{BB}=\begin{bmatrix}\uparrow & \uparrow & \uparrow  \\ (T(x^2+1))_B & (T(x))_B & (T(1))_B \\ \downarrow &\downarrow & \downarrow   \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0& 0 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix} \) Como \( [T]_{BB} \) es diagonal (formada por los autovalores) la transformación es diagonalizable.

Veamos si es diagonalizable ortogonalmente

Sea la base canónica \( C=\left\{{x^2; x ; 1}\right\} \) es una BON, busco \( [T]_{CC}=[B]_C \cdot [T]_{BB} \cdot [C]_B \)

\( B=\left\{{2x^2+1, x,1}\right\} \) \( \therefore [B]_C=\begin{bmatrix} \uparrow & \uparrow & \uparrow  \\ (x^2+1)_C & (x)_C & (1)_C \\ \downarrow &\downarrow & \downarrow \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{bmatrix} \)

\( [C]_B=\left([B]_C \right)^{-1}=\begin{bmatrix} 1/2 & 0 & 0 \\ 0 &1 &0 \\ -1/2 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)

\( [T]_{CC}=[B]_C \cdot [T]_{BB} \cdot [C]_B= \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0& 0 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1/2 & 0 & 0 \\ 0 &1 &0 \\ -1/2 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ -3/2 & 0 & 3 \end{bmatrix} \)

Como \( [T]_{CC} \) no es una matriz simétrica siendo \( C \) base canónica BON, \( T \) no es diagonalizable ortogonalmente.

Debo hallar la transformación

\( [T]_{CC} \cdot \vec{v}=T(v)\Longleftrightarrow{ \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ -3/2 & 0 & 3 \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix}a \\ b \\ c\end{pmatrix}}=\begin{pmatrix}0\\{0}\\{-3/2a+3c}\end{pmatrix} \)

\( T(ax^2+bx+c)=-\displaystyle\frac{3}{2}a+3c \) transformación que satisface todo lo solicitado.

MUCHAS GRACIAS!!! 

Buena semana a todos!

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Solución

Para saber si existe una TL que verifique lo pedido, primeramente busco una base de \( \mathbb{V}=P_2 \), sé por hipótesis que  \( Nu(T)=\left\{{ax^2+bx+c \in P_2: a=2c}\right\} \Longleftrightarrow{ B_{Nu(T)}=\left\{{2x^2+1, x}\right\}} \) pues ambos vectores son LI, los probé formalmente.

Extiendo entonces esta base a una base de \( P_2 \), \( B=\left\{{2x^2+1, x,1}\right\} \), también probé que este conjunto es LI.

Ahora de acuerdo a los datos dados \( f(x)=\begin{cases} T(2x^2+1)=\vec{0} \\ T(x)=\vec{0}\\ T(1)=3 \end{cases} \)Por teorema de unicidad y existencia para transformaciones lineales, existe una única TL que verifica los transformados dados.

Veamos si es diagonalizable

\( [T]_{BB}=\begin{bmatrix}\uparrow & \uparrow & \uparrow  \\ (T(x^2+1))_B & (T(x))_B & (T(1))_B \\ \downarrow &\downarrow & \downarrow   \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0& 0 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix} \) Como \( [T]_{BB} \) es diagonal (formada por los autovalores) la transformación es diagonalizable.

Bien. Notar que la solución que das depende del vector que has escogido para completar la base de \( Nuc(T) \) (en tu caso escogiste \( 1 \)). Habría soluciones distintas si escoges otro vector. Esto tiene influencia más adelante.

Veamos si es diagonalizable ortogonalmente

Sea la base canónica \( C=\left\{{x^2; x ; 1}\right\} \) es una BON, busco \( [T]_{CC}=[B]_C \cdot [T]_{BB} \cdot [C]_B \)

Para hablar de ortogonalidad hace falta fijar un producto escalar en el espacio vectorial de polinomios; parece que tomas aquel en el que la base canónica es ortonormal. Bien. Con esto quiero decir que la elección del producto escalar debe de ser un dato del ejercicio  o un convenio previo.

\( B=\left\{{2x^2+1, x,1}\right\} \) \( \therefore [B]_C=\begin{bmatrix} \uparrow & \uparrow & \uparrow  \\ (x^2+1)_C & (x)_C & (1)_C \\ \downarrow &\downarrow & \downarrow \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{bmatrix} \)

\( [C]_B=\left([B]_C \right)^{-1}=\begin{bmatrix} 1/2 & 0 & 0 \\ 0 &1 &0 \\ -1/2 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)

\( [T]_{CC}=[B]_C \cdot [T]_{BB} \cdot [C]_B= \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0& 0 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1/2 & 0 & 0 \\ 0 &1 &0 \\ -1/2 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ -3/2 & 0 & 3 \end{bmatrix} \)

Como \( [T]_{CC} \) no es una matriz simétrica siendo \( C \) base canónica BON, \( T \) no es diagonalizable ortogonalmente.

Con eso pruebas que la transformación que TÚ elegiste no es diagonalizable ortgonalemente. ¿Pero puede haber otra que si lo sea?.

¡Si!. Basta que escojas una base de autovalores ortogonal; en concreto que el tercer vector de la base \( B \) que tu escogiste como \( 1 \) lo escojas ortogonal a \( 2x^2+1,x \); por ejemplo \( x^2-2 \).

Debo hallar la transformación

\( [T]_{CC} \cdot \vec{v}=T(v)\Longleftrightarrow{ \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ -3/2 & 0 & 3 \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix}a \\ b \\ c\end{pmatrix}}=\begin{pmatrix}0\\{0}\\{-3/2a+3c}\end{pmatrix} \)

\( T(ax^2+bx+c)=-\displaystyle\frac{3}{2}a+3c \) transformación que satisface todo lo solicitado.

Bien.

Saludos.

[nktclau]

Muchísmas Gracias Luis Fuentes! placer aprender con MAESTROS como usted!