Hola
Antes de nada: estás publicando muchos ejercicios seguidos, pero sin poner nada de tu parte:
1) Es deseable que indiques que has intentado y que dudas concretas tienes.
2) Ante las respuestas que te ofrecen, es deseable que indiques si las has entendido o te queda alguna duda.
3) Intenta usar LaTeX para las fórmulas.
Sea \( \psi:V(X^2−Y^2+1)\to A^1 \) dada por \( \psi(x,y)=x/y \). ¿Es suprayectiva? ¿Y dominante? Lo mismo para \( \varphi:\Bbb R\to V(XY −1)\subset \Bbb R^2 \) dada por \( \varphi(t) = (t^2, 1/t^2) \) (fíjate en que aquí trabajamos con coeficientes en \( \Bbb R \), no en \( \Bbb C \)). Teniendo en cuenta que no hay ningún homomorfismo no nulo del cuerpo \( \Bbb C(X, Y ) \) en \( \Bbb C(t) \), ¿Puede haber alguna aplicación racional dominante \( \varphi : A^1 \to A^2 \)?
Mensaje corregido desde la administración.
Si llamas \( x/y=t \) entonces \( x=yt \). Sustituyendo en la ecuación de la curva origen \( x^2-y^2+1=0 \).
\( y^2t^2-y^2+1=0 \)
\( y^2=\dfrac{1}{1-t^2} \)
que tiene solución para cualquier \( t\neq 1,-1. \) Para \( t=1,-1 \) es inmediato que no hay origen porque ningún punto de la curva \( x^2-y^2+1=0 \), cumple \( x/y=\pm 1 \) (equivalentemente \( x^2=y^2 \)).
Sin embargo si es dominante porque la imagen es densa (con la topología de Zarisky) en \( A^1 \). Recuerda que los abiertos son variedades algebraicas, o lo que es lo mismo complementarios de ceros de polinomios. En concreto en \( A^1 \) los cerrados son conjuntos finitos de puntos; dado que la imagen es infinita su clausura (el menor cerrado que lo contiene) es todo \( A^1 \).
Intenta continuar con lo demás. Pregunta las dudas que te surjan.
Saludos.
