Dados dos enteros A, B, el máximo común divisor de A y B se define como el máximo entero que divide al mismo tiempo tanto a A como a B.
\[ mcd(A,B) = \max \{d\in\mathbb Z: d | A, d|B\}. \]
En particular, \(mcd(A,B) \geq 0\).
Cuando alguno de los números \(A\) ó \(B\) es 0, el otro operando sería el máximo común divisor.
\(mcd(0,519) = 519.\)
La razón es que todo número entero es divisor de 0.
¿Qué sucede si \(A=B=0\)?
Aparentemente, este caso debiera quedar indefinido, o incluso dar infinito,
porque, otra vez, todo número entero es divisor de 0, y por lo tanto no hay un máximo común divisor.
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Sin embargo yo digo que sí que hay un máximo común divisor, y es 0.
La cuestión es que, en general, si \( 0\leq A ,B\)
y si \(A|B\), entonces \(A\leq B\).
Esto muestra que hay una especie de coherencia entre el orden total de los enteros y el orden parcial "A divide a B".
Pero esa coherencia se rome cuando \(B=0\).
En ese caso, si observamos los números enteros no negativos,
vemos que en el orden parcial \(A\preceq B\) dado por "A es divisor de B",
se tiene que 1 es el mínimo absoluto de dicho orden parcial,
y que 0 es el máximo absoluto:
\(1\preceq A \preceq 0\).
Si interpretamos las palabras "máximo" y "mínimo" pero ahora en el sentido de este orden parcial, vemos que el máximo común divisor \(mcd(A,B)\)
mantendrá el mismo valor que antes,
pero que ahora lo único que ha cambiado es que \(mcd(0,0)\) está bien definido y es igual a 0.
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De hecho, si en el conjunto de los naturales redefinimos \(A\leq B\)
siempre que en la recta real (extendida al infinito) se cumpla que \(\log A\leq \log B\),
tenemos que todo natural es ahora menor que 0, porque \(\log 0 = \infty\).
En fin, que no le doy más vueltas al asunto.
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No sé si alguien quiere opinar sobre cuánto tiene que valer \(mcd(0,0)\).
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Ahora bien, me surge otra duda entonces.
¿Cuánto tiene que valer el mínimo común múltiplo de 0 con otro número?
(mcm(A,B) = mínimo entero no negativo M tal que A | M, B | M).
Si \(A>0\), tenemos que \(mcm(A,0) = 0\),
porque 0 no es divisor de ningún entero positivo M,
y ambos son divisores de M = 0.
Pero si ahora usamos el orden parcial \(\preceq\) para definir el mínimo común múltiplo,
resulta que el resultado es el mismo,
porque el conjunto de múltiplos de A y 0 sólo contiene al 0.
Finalmente, ¿cuánto tiene dar mcm(0,0)?
En este caso, para ambos enfoques, el resultado sigue siendo 0.
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Si ahora quiero definir una distancia en los números naturales,
haciendo:
\[d(A,B) = \log(mcm(A,B),mcd(A,B)).\]
Tiene sentido, y se pueden verificar los axiomas de un espacio métrico,
usando tan sólo el teorema de factorización única de enteros.
Por ejemplo, es claro que \(d(A,B) = 0\) si y sólo si \(A=B\).
El único caso que queda mal definido es aquel en que \(A=B=0\).
En ese caso habría que poner una definición aparte, haciendo \(d(A,B) =0\),
o bien definir \(0/0=1\).
Bueno, ahora sí me voy.
