Buenas tardes, me podéis confirmar o corregir si este ejercicio lo he resuelto de forma correcta? Muchas gracias de antemano!!
Calcular, en la región \( D \) limitada por las curvas, \( y = x \), \( xy = 1 \) , \( y = 2. \) La integral doble:
\( \displaystyle\int\displaystyle\int_D \dfrac{y^2}{x^2} dA \)
Para calcular la integral doble de \( \dfrac{y^2}{x^2} dA \) sobre la región \( D \), utilizando coordenadas cartesianas, debemos primero establecer los límites de integración.
Observemos las curvas que definen la región \( D \):
- La curva \( y = x \) nos indica que el límite inferior para \( x \) es igual al límite inferior para \( y \).
- La curva \( y = 1 \) nos indica que el límite superior para \( y \) es igual a \( 1 \).
- La curva \( y = 2 \) nos indica que el límite superior para \( y \) es igual a \( 2 \).
- Por lo tanto, el límite superior para x está dado por el punto en el que las curvas \( y = 1 \) y \( y = 2 \) se intersectan.
Para encontrar el valor de \( x \) en este punto, igualamos las ecuaciones y resolvemos:
\( 1 = 2 \)
\( x = 1 \)
Entonces, los límites de integración son:
- Límite inferior para \( x \): \( x = 0 \)
- Límite superior para \( x \):\( x = 1 \)
- Límite inferior para \( y \): \( y = x \)
- Límite superior para \( y \): \( y = 2 \)
Ahora podemos calcular la integral doble:
\( \displaystyle\int\displaystyle\int_D \dfrac{y^2}{x^2} dA \)
\( \displaystyle\int_{[0,1]}\displaystyle\int_{[x,2]} \dfrac{y^2}{x^2} dA \)
Primero, integramos respecto a y, manteniendo x constante:
\( \displaystyle\int_{[x,2]} \dfrac{y^2}{x^2} dA =\left.\dfrac{1}{3}\dfrac{y^3}{x^2}\right|_2^x \)
\( =\dfrac{1}{3}\dfrac{2^3}{x^2}-\dfrac{1}{3}\dfrac{1^3}{x^2}= \)
\( =\dfrac{8/3}{x^2}-\dfrac{1/3}{x} \)
Ahora, integramos respecto a \( x \):
\( \displaystyle\int_0^1\left(\dfrac{8/3}{x^2}-\dfrac{1/3}x\right)dx \)
\( =\dfrac{8}{3}\displaystyle\int_0^1\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{3}\displaystyle\int_0^1\dfrac{1}{x}dx \)
\( =\dfrac{8}{3}\left.\dfrac{-1}{x}\right|_0^1-\dfrac{1}{3}\left.\dfrac{1/2}{x^2}\right|_0^1 \)
\( =\dfrac{8}{3}\cdot \left(\dfrac{-1}{1}-\dfrac{-1}{0}\right)-\dfrac{1}{6} \)
\( =\dfrac{8}{3}\cdot 1-\dfrac{1}{6} \)
\( =\dfrac{8}{3}-\dfrac{1}{6} \)
\( =\dfrac{16}{6}-\dfrac{1}{6} \)
\( =\dfrac{15}{6} \)
\( =\dfrac{5}{2} \)
Por lo tanto, \( \displaystyle\int\displaystyle\int_D \dfrac{y^2}{x^2} dA=\dfrac{5}{2} \)
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