[manooooh]

Hola!

Supongamos que \( f \) es integrable en todo el plano (análogamente para funciones de dos variables, en el espacio) y que \( F(x)=\int f(x)\,\mathrm{d}x \) (lo mismo pero con más variables).

¿Puede \( F(x) \) cubrir todo el plano dándole diferentes valores a la constante de integración \( C \)? Suponiendo que se pueden graficar las infinitas funciones en un mismo gráfico, todas juntas.

Por ejemplo \( \int 1\,\mathrm{d}x=x+C \) y para los infinitos valores de \( C \), la función \( x+C \) "cubre" todo el plano al ser la recta identidad desplazada verticalmente.

Quiero creer que la pregunta vale para cualquier función desplazada (verticalmente) \( f=f+C \), pero como he visto un hilo de integrales pues quedó la pregunta así .

¿Sucede siempre con cualquier función? ¿Cuál sería una demostración?

Gracias!!
Saludos

[martiniano]

Hola.

Si tienes una función \[ F(x)  \], que es primitiva de otra función \[ f(x)  \] y quieres otra primitiva de \[ f(x)  \] que pase por \[ (x_0,y_0) \] no tienes más que tomar \[ F(x) - F(x_0) +y_0 \].

Un saludo.

[manooooh]

Hola

Si tienes una función \[ F(x)  \], que es primitiva de otra función \[ f(x)  \] y quieres otra primitiva de \[ f(x)  \] que pase por \[ (x_0,y_0) \] no tienes más que tomar \[ F(x) - F(x_0) +y_0 \].

No entiendo, ¿por qué querría otra primitiva? ¿Eso cómo demuestra que el plano se puede "cubrir" por todas las primitivas de una función?

Me gustaría hacer la pregunta más general sin hablar de integrales. Sólo hablando del concepto de "traslación de una función".

Saludos

[ani_pascual]

Hola

Si tienes una función \[ F(x)  \], que es primitiva de otra función \[ f(x)  \] y quieres otra primitiva de \[ f(x)  \] que pase por \[ (x_0,y_0) \] no tienes más que tomar \[ F(x) - F(x_0) +y_0 \].

No entiendo, ¿por qué querría otra primitiva? ¿Eso cómo demuestra que el plano se puede "cubrir" por todas las primitivas de una función?

Hola:
Si \( (x_0,y_0) \) es un punto arbitrario del plano y has encontrado una primitiva que pasa por él, a saber, \( F(x)-F(x_0)+y_0 \), me parece que ya has probado que la integral indefinida de \( f(x) \) "cubre" todo el plano, a no ser que la primitiva original no tenga por dominio todo \( \mathbb{R} \)
Saludos