[carlosgv]

Demostrar que la siguiente sucesión de espacios vectoriales sobre \( \Bbb Q \) es exacta:

\( 0\to \Bbb Q^2\to F\to \Bbb Q^2\to 0 \)

\( F:=\left\{{\begin{bmatrix}{a}&{0}&{0}\\{b}&{a}&{0}\\{c}&{d}&{a}\end{bmatrix}, a,b,c,d\in{Q}}\right\}. \)

\( f \) y \( g \) son las aplicaciones respectivas:

\( f(c,d)=\begin{bmatrix}{0}&{0}&{0}\\{-c-d}&{0}&{0}\\{c}&{d}&{0}\end{bmatrix}
 \)y \( g(\begin{bmatrix}{a}&{0}&{0}\\{b}&{a}&{0}\\{c}&{d}&{a}\end{bmatrix})=(a,b+c+d) \) 

Sé que tengo que demostrar que \( f \) es inyectiva, \( g \) epiyectiva y que \( Im(f)=Ker(g) \), pero no entiendo cómo abordar este caso particular.
Bienvenido al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

 Mensaje corregido desde la administración.

[Luis Fuentes]

Hola

Demostrar que la siguiente sucesión de espacios vectoriales sobre \( \Bbb Q \) es exacta:

\( 0\to \Bbb Q^2\to F\to \Bbb Q^2\to 0 \)

Como datos tengo: \( F \) (una matriz \( 3\times 3 \) con \( a,b,c,d \) pertenecientes a \( \Bbb Q \)), y las aplicaciones \( f \) y \( g \), respectivamente. Siendo \( f(c,d) \) la primera y \( g(F) \) la segunda.

 El enunciado no está bien copiado faltan datos y no es claro lo que has puesto.

 1) ¿Cuál es el espacio vectorial \( F \) del medio (marcado en rojo)? Quizá por lo que dices sea un conjunto de matrices, pero no está claro. No tiene sentido que sea UNA matriz concreta.

 2) EXACTAMENTE cómo están definidas las aplicaciones \( f \) y \( g \).

 Si esos datos es imposible ayudarte.

Saludos.

[carlosgv]

Buenas,
lo acabo de modificar de una manera más explícita. Espero que así ya sea posible que puedas ayudarme.
Gracias

[ani_pascual]

Buenas,
lo acabo de modificar de una manera más explícita. Espero que así ya sea posible que puedas ayudarme.
Gracias

Hola:
Solo tienes que ir aplicando las definiciones de núcleo e imagen. Por si aún no te ha salido...

Spoiler

\( (c,d)\in Ker(f)\Longleftrightarrow f(c,d)=O\Longleftrightarrow \left(\begin{array}{ccc}0&0&0\\-c-d&0&0\\c&d&0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right) \). Por tanto, \( , -c-d=0, c=0,d=0 \); en definitiva, \( (c,d)=(0,0)\in\mathbb{Q}^2 \) y es \( f \) inyectiva.
Dado \( (p,q)\in\mathbb{Q}^2 \) entonces existe \( A=\left(\begin{array}{ccc}a&0&0\\b&a&0\\c&d&a\end{array}\right)\in F \) tal que \( g(A)=(a,b+c+d)=(p,q) \), en efecto, basta tomar \( a=p, b=q,c=d=0 \) con lo que es \( g \) sobreyectiva.
Finalmente, si \( A=\left(\begin{array}{ccc}a&0&0\\b&a&0\\c&d&a\end{array}\right)\in Ker(g)\Longleftrightarrow g(A)=(0,0)\Longleftrightarrow (a,b+c+d)=(0,0)\Longrightarrow a=0, b+c+d=0\Longrightarrow b=-c-d\Longrightarrow A\in Im(f) \), ya que existe \( (c,d)\in\mathbb{Q}^2 \) tal que \( f(c,d)=\left(\begin{array}{ccc}0&0&0\\-c-d&0&0\\c&d&0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}a&0&0\\b&a&0\\c&d&a\end{array}\right)=A \) y recíprocamente, si \( A\in Im(f) \) entonces existe \( (c,d)\in\mathbb{Q}^2 \) tal que \( f(c,d)=\left(\begin{array}{ccc}0&0&0\\-c-d&0&0\\c&d&0\end{array}\right)=A\Longrightarrow g(A)=(0, -c-d+c+d)=(0,0)\Longrightarrow A\in Ker(g) \)

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