Nota que lo que dice el libro es:
"
Si quisiéramos observar un electrón y determinar sus alrededores usando luz, la longitud de la onda luminosa debería ser muy corta. Llegamos así a un dilema. Una longitud de onda corta que pueda “ver” mejor el electrón diminuto corresponde a un cuanto grande de energía, que tiene un efecto mayor de alterar el estado de movimiento del electrón. Si, por otro lado, usamos una gran longitud de onda que corresponda a un menor cuanto de energía, será menor el cambio que induzcamos en el estado de movimiento del electrón; pero será menos exacta la determinación de su posición, con la onda más larga"
Para la luz se cumple:
\( E=h \nu\tag{fotones} \)
\( \nu=\dfrac c{\lambda}\tag{fotones} \)
Por lo tanto se cumple lo que afirma el libro:
\( E=\dfrac{h c}{\lambda}\tag{fotones} \)
En cambio, la expresión que tú has puesto:
\( \lambda\simeq \dfrac h{m v} \)
En la que \( \lambda \) es la "
longitud de onda de De Broglie"
es solo una aproximación, que es
únicamente aplicable para partículas con masa a velocidades no relativistas, es decir se aplica a partículas con masa, (electrón, protón, neutrón,...) cuando tienen velocidades muy inferiores a la velocidad de la luz \( c \). Como la luz "
va a la velocidad de la luz" y el fotón tiene masa cero, esa expresión no le es aplicable.
La expresión relativista más general de la energía de partículas con masa \( m\geq 0 \) y momento lineal \( p\geq 0 \) es:
\( \boxed{E^2=(p c)^2+(m c^2)^2}\tag{1} \)
El momento lineal relativista para partículas con masa, siendo \( \gamma \) el Factor de Lorentz:
\( p=m\gamma v \)
La "
longitud de onda de De Broglie" en su expresión más general (para partículas de masa \( m \) a cualquier velocidad \( v \) permitida \( v<c \)) es:
\( \lambda=\dfrac h {m \gamma v} \)
\( \lambda=\dfrac h p \)
\( p=\dfrac h{\lambda}\tag{2} \)
Sustituyendo (2) en la expresión de la energía (1)
\( E^2=\dfrac{h^2 c^2}{\lambda^2}+(m c^2)^2 \)
\( E=\sqrt{\left ( \dfrac{h c}{\lambda}\right )^2+(m c^2)^2} \)
Según esta última expresión, vemos que también hay "
una relación inversa" entre energía y longitud de onda de De Broglie si se usan como sonda "
ondas de materia", pero no hay "
proporcionalidad inversa directa" debido al sumando correspondiente a la energía de masa de la partícula \( (m c^2)^2 \). Un ejemplo de uso de "
ondas de materia" para "
ver" objetos muy pequeños es el
microscopio electrónicoLas expresiones (2) y (1) son generales y también son aplicables a los fotones. En la expresión (2) aplicada a una partícula con masa, \( \lambda \) es su longitud de onda de De Broglie, mientras que cuando se aplica a fotones \( \lambda \) es la longitud de onda del fotón.
La expresión (1) para fotones \( m=0 \) se convierte en:
\( E=p c\tag{fotones} \)
\( p=\dfrac{h \nu}c \tag{fotones} \)
Saludos.
