[Berner]

Determine cuales de las siguientes funciones son analíticas.
\begin{align*}
f(x) &= |x| \\
f(x) &= \frac{1}{x-4} \\
f(x) &= e^{-x} \\
f(x) &= \sin(3x+1) \\
f(x) &= \frac{1}{x^2-2x+1} \\
f(x) &= x^4+4 \\
f(x) &= \frac{1}{x^3} \\
f(x) &= \frac{4x}{x^4+2x^2+5} \\
f(x) &= \sqrt{x-4}, x>4 \\
f(x) &= |x-3| = \sqrt{(x-3)^2} \\
f(x) &= |x||x-1|
\end{align*}

[Luis Fuentes]

Hola

Determine cuales de las siguientes funciones son analíticas.
\begin{align*}
f(x) &= |x| \\
f(x) &= \frac{1}{x-4} \\
f(x) &= e^{-x} \\
f(x) &= \sin(3x+1) \\
f(x) &= \frac{1}{x^2-2x+1} \\
f(x) &= x^4+4 \\
f(x) &= \frac{1}{x^3} \\
f(x) &= \frac{4x}{x^4+2x^2+5} \\
f(x) &= \sqrt{x-4}, x>4 \\
f(x) &= |x-3| = \sqrt{(x-3)^2} \\
f(x) &= |x||x-1|
\end{align*}

Entiendo que te refieres a funciones de variable real y en el domino que se indica o en su defecto en el más grande posible donde están definidas.

Una condición necesaria es que sean infinitamente derivables-

Eso descarta la primera, la última y la penúltima.

Por otra parte la suma, producto y composición de analíticas es analítica (en los dominios adecuados)

Combinando esto con el hecho conocido de que son analíticas: las funciones polinómicas, las trigonométricas, \( e^x \), \( 1/x \) (en su domino) y \( \sqrt{x} \) (para \( x>0 \)), puedes concluir que las demás son analíticas.

Saludos.

[Berner]

Entiendo gracias

[Berner]

Analice  cada función y obtuve esto esta bien:

1. \(f(x) = |x|\): No es analítica en \(x=0\) debido a la discontinuidad.

2. \(f(x) = \frac{1}{x-4}\): No es analítica en \(x=4\) debido a la singularidad.

3. \(f(x) = e^{-x}\): Es analítica en todos los puntos del dominio.

4. \(f(x) = \sin(3x+1)\): Es analítica en todos los puntos del dominio.

5. \(f(x) = \frac{1}{x^2-2x+1}\): No es analítica en \(x=1\) debido a la singularidad.

6. \(f(x) = x^4+4\): Es analítica en todos los puntos del dominio.

7. \(f(x) = \frac{1}{x^3}\): Es analítica en todos los puntos del dominio.

8. \(f(x) = \frac{4x}{x^4+2x^2+5}\): Es analítica en todos los puntos del dominio.

9. \(f(x) = \sqrt{x-4}, x>4\): Es analítica en \(x>4\) pero no en \(x=4\) debido a la raíz cuadrada.

10. \(f(x) = |x-3|\): No es analítica en \(x=3\) debido a la discontinuidad.

11. \(f(x) = |x||x-1|\): No es analítica en \(x=0\) y \(x=1\) debido a las discontinuidades.

Por lo tanto, las funciones analíticas son: \(e^{-x}\), \(\sin(3x+1)\), \(x^4+4\), \(\frac{1}{x^3}\) y \(\frac{4x}{x^4+2x^2+5}\).

[Luis Fuentes]

Hola

Analice  cada función y obtuve esto esta bien:

1. \(f(x) = |x|\): No es analítica en \(x=0\) debido a la discontinuidad.

No hay una discontinuidad en la función; no que ocurre es que NO es derivable en cero.

2. \(f(x) = \frac{1}{x-4}\): No es analítica en \(x=4\) debido a la singularidad.

Evidentemente donde no está definida no puede ser analítica; pero si lo es en su domino.

3. \(f(x) = e^{-x}\): Es analítica en todos los puntos del dominio.

4. \(f(x) = \sin(3x+1)\): Es analítica en todos los puntos del dominio.

Bien.

5. \(f(x) = \frac{1}{x^2-2x+1}\): No es analítica en \(x=1\) debido a la singularidad.

Lo mismo que en (2).

6. \(f(x) = x^4+4\): Es analítica en todos los puntos del dominio.

7. \(f(x) = \frac{1}{x^3}\): Es analítica en todos los puntos del dominio.

8. \(f(x) = \frac{4x}{x^4+2x^2+5}\): Es analítica en todos los puntos del dominio.

Bien.

9. \(f(x) = \sqrt{x-4}, x>4\): Es analítica en \(x>4\) pero no en \(x=4\) debido a la raíz cuadrada.

Si; pero se entiende que hablamos en

(4,+\infty)

. Ahí si es analítica.

10. \(f(x) = |x-3|\): No es analítica en \(x=3\) debido a la discontinuidad.

11. \(f(x) = |x||x-1|\): No es analítica en \(x=0\) y \(x=1\) debido a las discontinuidades.

No son discontinuidades, sino puntos donde no hay diferenciabilidad.

Saludos.
Por lo tanto, las funciones analíticas son: \(e^{-x}\), \(\sin(3x+1)\), \(x^4+4\), \(\frac{1}{x^3}\) y \(\frac{4x}{x^4+2x^2+5}\).
[/quote]

[Berner]

Ok gracias