[Paula PB]

Pruébese que si \( mcd(a, n) = 1 \), entonces los enteros
\( c, c+a, c+2a, \ldots,c+(n-1)a \)
forman un conjunto completo de residuos módulo \( n \) para cada \( c \).

Entiendo que, como los coeficientes de a son \( 0, 1, 2, 3, 4, ... , (n-1) \), estos ya formarían un conjunto completo de residuos, y al multiplicarlos por una constante, en este caso \( a \), que es coprimo con \( n \), seguiría formando un conjunto completo de residuos, y al sumarle al resultado una constante \( c \) seguiría formando un conjunto completo de residuos, pero no sé cómo demostrarlo.

[Luis Fuentes]

Hola

Pruébese que si \( mcd(a, n) = 1 \), entonces los enteros
\( c, c+a, c+2a, \ldots,c+(n-1)a \)
forman un conjunto completo de residuos módulo \( n \) para cada \( c \).

Supón que alguna de esas dos clases son iguales módulo \( n \). Entonces existen \( 0\leq p<q<n[tex] tales que.

[tex](c+qa)-(c+pa)=kn \) con \( k \) entero

Es decir:

\( a(q-p)=kn \)

Como \( mcd(a,n)=1 \), entonces \( n \) tiene que dividir a \( q-p \). Pero \( 0<q-p<n \) y por tanto es imposible que \( n|q-p \).

Por tanto todas esas clases son diferentes. Y como son \( n \) clases, son todas las posibles módulo \( n \).

Saludos.