[josaviini]

Hola, estoy intentando realizar el siguiente ejercicio pero ando un poco perdido.

Considere el siguiente sistema en coordenadas polares $$(r,\theta)$$:

$$ \dot{r} = r + \alpha r^3, \\
     \dot{\theta} = \nu         $$

con $$\alpha < 0$$. Calcula las soluciones del sistema analíticamente y escribe la aplicación de Poincaré para una sección $$\theta = $$ constante. Estudia la dinámica de la aplicación de Poincaré resultante (aplicación 1-dimensional). Cualquier ayuda es bienvenida, muchas gracias de antemano.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, estoy intentando realizar el siguiente ejercicio pero ando un poco perdido.

Considere el siguiente sistema en coordenadas polares $$(r,\theta)$$:

$$ \dot{r} = r + \alpha r^3, \\
     \dot{\theta} = \nu         $$

con $$\alpha < 0$$. Calcula las soluciones del sistema analíticamente y escribe la aplicación de Poincaré para una sección $$\theta = $$ constante. Estudia la dinámica de la aplicación de Poincaré resultante (aplicación 1-dimensional). Cualquier ayuda es bienvenida, muchas gracias de antemano.

¿Qué has intentado?.

Cada ecuación es independiente y se puede resolver integrando (son de variables separadas).

En cuanto a la aplicación de Poincaré, en principio mira la Wiki. Viene justo ese ejemplo:

https://en.wikipedia.org/wiki/Poincar%C3%A9_map

Saludos.

[josaviini]

Hola Luis, he intentado integrar ambas soluciones pero no tengo muy claro cómo afecta el parámetro $$\nu$$ a mi análisis, ya que la mayoría de ejemplos (como el de Wikipedia) son con $$\dot{\theta} = 1$$. ¿Hace ese parámetro que tenga que utilizar otra sección que no sea $$\theta=0$$? Además, no sé hallar la expresión explícita para el mapa de Poincaré porque estoy un poco confundido con la condición inicial que tendría que tomar para quitarme la constante. Si me ayudas un poco te lo agradecería. Un saludo y gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola Luis, he intentado integrar ambas soluciones pero no tengo muy claro cómo afecta el parámetro $$\nu$$ a mi análisis, ya que la mayoría de ejemplos (como el de Wikipedia) son con $$\dot{\theta} = 1$$. ¿Hace ese parámetro que tenga que utilizar otra sección que no sea $$\theta=0$$? Además, no sé hallar la expresión explícita para el mapa de Poincaré porque estoy un poco confundido con la condición inicial que tendría que tomar para quitarme la constante. Si me ayudas un poco te lo agradecería. Un saludo y gracias.

Pues simplemente el flujo sería ahora:

\( \phi_t(\theta,r)=\left(\theta+\nu t,\dfrac{1}{\sqrt{e^{-2t}\left(a+\dfrac{1}{r_0^2}\right)-a}}\right) \)

El hecho de considerar una sección del tipo \( \theta=cte \) (no necesariamente cero) no cambia nada; ten en cuenta que simplemente cambias el ángulo de la recta sección. Lo interesante es la periodicidad que en este caso es \( 2\pi/\nu \). Así que la aplicación de Poincaré sería:

\( \psi(r)=\dfrac{1}{\sqrt{e^{-4\pi/\nu}\left(a+\dfrac{1}{r_0^2}\right)-a}} \)

Saludos.

CORREGIDO

[josaviini]

Claro, eso es lo que pensaba pero no estaba seguro. Una pregunta por curiosidad: al resolver el sistema para r con la condición inicial $$r(0) = r_0$$, hago lo siguiente:

$$  \int \frac{1}{r+\alpha r^3}dr = \int dt \implies log\left(\frac{r}{\sqrt{1-\alpha r^2}}\right) = t + C $$

De darle tantas vueltas al ejercicio ya no sé ni cómo despejar dicha fracción para sacar la $$r$$. Luego solo hay que utilizar la condición $$r(0) = r_0$$ para quitarnos la constante $$C$$, ¿cierto?

Una vez con la aplicación de Poincaré solo me quedaría estudiar sus puntos fijos, que están asociados a órbitas periódicas del sistema asociado, y estudiar la derivada de la aplicación de Poincaré, ¿verdad? Me surge una nueva duda acerca de la relación entre la estabilidad de los puntos fijos y las órbitas periódicas. Cuando los puntos fijos son atractores o repulsores, ¿qué me dice esto sobre la órbita periódica asociada a ese punto fijo? Gracias por tu ayuda una vez más y disculpa las molestias, Luis.

[ani_pascual]

Claro, eso es lo que pensaba pero no estaba seguro. Una pregunta por curiosidad: al resolver el sistema para r con la condición inicial $$r(0) = r_0$$, hago lo siguiente:

$$  \int \frac{1}{r+\alpha r^3}dr = \int dt \implies log\left(\frac{r}{\sqrt{1-\alpha r^2}}\right) = t + C $$

De darle tantas vueltas al ejercicio ya no sé ni cómo despejar dicha fracción para sacar la $$r$$. Luego solo hay que utilizar la condición $$r(0) = r_0$$ para quitarnos la constante $$C$$, ¿cierto?

Una vez con la aplicación de Poincaré solo me quedaría estudiar sus puntos fijos, que están asociados a órbitas periódicas del sistema asociado, y estudiar la derivada de la aplicación de Poincaré, ¿verdad? Me surge una nueva duda acerca de la relación entre la estabilidad de los puntos fijos y las órbitas periódicas. Cuando los puntos fijos son atractores o repulsores, ¿qué me dice esto sobre la órbita periódica asociada a ese punto fijo? Gracias por tu ayuda una vez más y disculpa las molestias, Luis.

Hola:
\( e^{t+C}=\dfrac{r}{\sqrt{1+\alpha r^2}}\Longrightarrow e^{2(t+C)}=\dfrac{r^2}{1+\alpha r^2}\Longrightarrow e^{2(t+C)}=r^2(1-\alpha e^{2(t+C)})\Longrightarrow r=\sqrt{\dfrac{e^{2(t+C)}}{1-\alpha e^{2(t+C)}}}\Longrightarrow r_0^2=\dfrac{e^{2C}}{1-\alpha e^{2C}}\Longrightarrow e^{2C}=\dfrac{r_0^2}{1+\alpha r_0^2}\Longrightarrow \\r=\sqrt{\dfrac{\dfrac{e^{2t}r_0^2}{1+\alpha r_0^2}}{1-\dfrac{\alpha e^{2t} r_0^2}{1+\alpha r_0^2}}}=\cdots =\dfrac{1}{\sqrt{e^{-2t}\left(\alpha+\dfrac{1}{r_0^2}\right)-\alpha}} \)
Parece que no llego a la misma expresión que Luis Fuentes
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Quizá me haya equivocado en las cuentas; mañana reviso.

Saludos.

[josaviini]

Claro, eso es lo que pensaba pero no estaba seguro. Una pregunta por curiosidad: al resolver el sistema para r con la condición inicial $$r(0) = r_0$$, hago lo siguiente:

$$  \int \frac{1}{r+\alpha r^3}dr = \int dt \implies log\left(\frac{r}{\sqrt{1-\alpha r^2}}\right) = t + C $$

De darle tantas vueltas al ejercicio ya no sé ni cómo despejar dicha fracción para sacar la $$r$$. Luego solo hay que utilizar la condición $$r(0) = r_0$$ para quitarnos la constante $$C$$, ¿cierto?

Una vez con la aplicación de Poincaré solo me quedaría estudiar sus puntos fijos, que están asociados a órbitas periódicas del sistema asociado, y estudiar la derivada de la aplicación de Poincaré, ¿verdad? Me surge una nueva duda acerca de la relación entre la estabilidad de los puntos fijos y las órbitas periódicas. Cuando los puntos fijos son atractores o repulsores, ¿qué me dice esto sobre la órbita periódica asociada a ese punto fijo? Gracias por tu ayuda una vez más y disculpa las molestias, Luis.

Hola:
\( e^{t+C}=\dfrac{r}{\sqrt{1+\alpha r^2}}\Longrightarrow e^{2(t+C)}=\dfrac{r^2}{1+\alpha r^2}\Longrightarrow e^{2(t+C)}=r^2(1-\alpha e^{2(t+C)})\Longrightarrow r=\sqrt{\dfrac{e^{2(t+C)}}{1-\alpha e^{2(t+C)}}}\Longrightarrow r_0^2=\dfrac{e^{2C}}{1-\alpha e^{2C}}\Longrightarrow e^{2C}=\dfrac{r_0^2}{1+\alpha r_0^2}\Longrightarrow \\r=\sqrt{\dfrac{\dfrac{e^{2t}r_0^2}{1+\alpha r_0^2}}{1-\dfrac{\alpha e^{2t} r_0^2}{1+\alpha r_0^2}}}=\cdots =\dfrac{1}{\sqrt{e^{-2t}\left(\alpha+\dfrac{1}{r_0^2}\right)-\alpha}} \)
Parece que no llego a la misma expresión que Luis Fuentes
Saludos

Gracias por la corrección, ani_pascual, y por revisarlo tú también, Luis Fuentes. Lo último que me preguntaba, ya para cerrar esto, es: ¿Sabéis exactamente qué información nos aportan los puntos fijos de la aplicación de Poincaré sobre las órbitas periódicas del sistema estudiado?

Entiendo que están relacionados, pero no sé exactamente qué información obtengo al analizar la derivada en los puntos de la aplicación de Poincaré y ver si son atractores o repulsores. Muchas gracias por vuestra ayuda una vez más.