Hola
Hola que tal, consideremos el espacio de medida \( (X,A, \mu) \) y \( f \) una función medible no negativa. Demuestre que para todo \( c>0 \):
\( \mu (\left\lbrace x: f(x) >c \right\rbrace ) \leq \dfrac{1}{c} \displaystyle\int_{X} f(x) d\mu \)
Si llamas \( Y=\left\lbrace x: f(x) >c \right\rbrace \) se tiene que
1) Por ser la función no negativa:
\( \displaystyle\int_{X} f(x) d\mu\geq \displaystyle\int_{Y} f(x) d\mu \)
2) Y dado que \( x\in Y \) significa que \( f(x)>c \):
\( \displaystyle\int_{Y} f(x) d\mu\geq \displaystyle\int_{Y} c d\mu=c\cdot \mu(Y) \)
Saludos.
