[magazo]

Podrías pasarte por estos links aunque no tienen matemáticas sencillas


https://es.wikipedia.org/wiki/Lagrangiano#N%C3%BAmero_finito_de_grados_de_libertad
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_de_Euler-Lagrange
https://es.wikipedia.org/wiki/Potencial_gravitatorio
https://es.wikipedia.org/wiki/Intensidad_del_campo_gravitatorio
https://es.wikipedia.org/wiki/Potencial_efectivo
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%93rbita

Saludos

ok gracias amigo para no molestarte algun libro que me recomendaras que sea mas profundo que el sears o serway muchas gracias

[Richard R Richard]

No , Sabría recomendarte, pero si lo que quieres representar son orbitas puedes pasarte por una entrada de Blog npara órbitas  en Gravitación Newtoniana , la cual deberás adaptar para cambiar el exponente de -2 a cualquiera se te ocurra

https://forum.lawebdefisica.com/blogs/richard-r-richard/351592-un-m%C3%A9todo-para-graficar-%C3%B3rbitas-y-trayectorias-en-la-teor%C3%ADa-newtoniana-de-la-gravitaci%C3%B3n

Con  orbitas relativistas con la métrica de Schwarzchild

https://forum.lawebdefisica.com/blogs/richard-r-richard/351595-m%C3%A9todo-para-graficar-%C3%B3rbitas-geod%C3%A9sicas-y-trayectorias-en-el-espacio-m%C3%A9trico-de-schwarzchild

con la métrica de Kerr

https://forum.lawebdefisica.com/blogs/richard-r-richard/351597-m%C3%A9todo-para-graficar-%C3%B3rbitas-geod%C3%A9sicas-en-el-espacio-m%C3%A9trico-de-kerr

[magazo]

No , Sabría recomendarte, pero si lo que quieres representar son orbitas puedes pasarte por una entrada de Blog npara órbitas  en Gravitación Newtoniana , la cual deberás adaptar para cambiar el exponente de -2 a cualquiera se te ocurra

https://forum.lawebdefisica.com/blogs/richard-r-richard/351592-un-m%C3%A9todo-para-graficar-%C3%B3rbitas-y-trayectorias-en-la-teor%C3%ADa-newtoniana-de-la-gravitaci%C3%B3n

Con  orbitas relativistas con la métrica de Schwarzchild

https://forum.lawebdefisica.com/blogs/richard-r-richard/351595-m%C3%A9todo-para-graficar-%C3%B3rbitas-geod%C3%A9sicas-y-trayectorias-en-el-espacio-m%C3%A9trico-de-schwarzchild

con la métrica de Kerr

https://forum.lawebdefisica.com/blogs/richard-r-richard/351597-m%C3%A9todo-para-graficar-%C3%B3rbitas-geod%C3%A9sicas-en-el-espacio-m%C3%A9trico-de-kerr

Ok amigo, lo que busco aparte de este tema son fundamentos mas profundos de los temas de física en general que me lleven mas al análisis donde se vea diferenciales, etc me imagino que por sus conocimientos usted es  físico y veo que maneja bien el análisis. Agradezco puede orientarme gracias!!

[Richard R Richard]

Hola, todavía no me entero bien lo que buscas, pero te daré una pincelada histórica, para que veas que pequeños en las variable producen cambios profundos en la evolución del sistema.

Como primera recomendación hazte a la idea de que la física nunca te dirá "porqué" las cosas suceden como suceden, sino que intentará explicarte en base a mediciones y proyecciones o extrapolaciones solo "como" suceden las cosas o como se espera que sucedan y de manera aproximada pues siempre los modelos o teorías son perfectibles.

Así desde el modelo de Newton en que la aceleración que provoca un cuerpo masivo respecto de uno de masa despreciable o de prueba cae con el inverso del cuadrado de la distancia al centro de masas del objeto masivo, ha sido lógico preguntarse para mucha gente porque ese exponente y no otro, bueno la respuesta para la física es básicamente que eso es lo que respaldan las observaciones, es decir desde hace 400 años miramos al telescopio y podemos mediante cálculos sencillos predecir en que punto del firmamento estarán todos los cuerpos celestes que registremos, eso se debe a que los cálculos matemáticos que respaldan la teoría son relativamente sencillos, o lo eran.
Al principio del siglo pasado se había observado que con un modelo que nunca fallaba, Mercurio, el planeta mas cercano al sol  describía orbitas en la cual su perihelio precesaba, es decir si bien la orbita era cerrada no coincidía con la posición que pronosticaba la teoría newtoniana con la observada al telescopio, esto podía tener dos causas , había alguna variable que no se tenía en cuenta, o la teoría no es lo suficientemente precisa. Bueno un joven Einstein puso las nuevas reglas de movimiento de los planetas basándose en geometría y ya no tanto en ese exponente, el resultado de su teoría general de la relatividad nos ha hecho comprender de manera mas fácil ciertos fenómenos aunque el cálculo refinado requiere de un bagaje matemático, ya no accesible para principiantes o estudiantes de nivel medio.

La mayoria de los problemas de dos cuerpos sometidos a fuerzas centrales producente trayectoria curvas, estamos familiarizados con la palabra órbita para aquellas que son cerradas pero pueden no serlo , en fin pueden ser de todos los tipos, rectas, elipses, parábolas e hipérbolas cuando el exponente es -2, dependiendo d lo valores de las masas y de la velocidad inicial del objeto de prueba.
Los problemas matemáticos asociados a la solucion de estos problemas requiere de la solucion de ecuaciones diferenciales  y se los suele llama Problema de valor inicial https://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_valor_inicial..

Bueno a que vamos que un exponente diferente a 2 en las ecuaciones de Newton , produce variedad de curvas diferentes para sus trayectorias, lo curioso es que el pronóstico que hace el autor que mencionas creo no se ajusta a la realidad, lo he simulado en ordenador y solo en condiciones fuera de un valor inicial en equilibrio es posible que en algún  caso suceda lo que pronostica.

recapitulemos ,en teoría clasica,consideramos a la gravedad como campo escalar, creado por un potencial asociado a la masa del cuerpo masivo , la fuerza  o bien la aceleración son magnitudes vectoriales que resultan de calcular el menos gradiente de dicho campo, sus componentes   reflejan el  resultado de como varia es potencial con la distancia radial , podemos pensar que la fuerza central va a cambiar de modulo como función del radio elevado a un exponente y entonces proponer un Ansatz https://es.wikipedia.org/wiki/Ansatz de ese potencial para que los vectores que se pueden medir se correspondan entre teoría y practica. Visto está que en el nacimiento del cálculo newton pudo proponer su teoría con el exponente -2 y todos los cálculos basados en ese exponentes son muy fieles ,salvo en la inmediación de masas muy grandes donde es mejor teorizar con relatividad.

Así que para exponentes distintos nunca hubo teoría que contraste con la realidad, si las hay de gravedad modificada pero para explicar  otras observaciones y no tanto el movimiento de los planetario. proponer que la gravedad actué con un exponente distinto a -2  requiere que modifiques el valor de la energía potencial gravitatoria del sistema, cuando lo haces esa ecuación diferencial que presente arrojara que la fuerza variará con otro exponente y no con -2, para el caso particular que propones -3  te presente el análisis donde surge la igualdad entre la velocidad que podría dar producir una trayectoria circular con la velocidad necesaria para alejarse indefinidamente  , la velocidad de escape dando un resultado contradictorio, pero solo eligiendo muy bien  la velocidad  e punto de partida inicial  lograrás una colisión con la estrella, si bien es posible  la regla general es alejarse del sistema indefinidamente.
Para exponentes menores a -3 e (-4,-5 etc) efecto es mas marcado así que por ese lado las colisiones no vendrían.
las orbitas cerradas son las que probabilísticamente pueden hacer colisionar  dos o mas planetas entre sí, y estas son posibles con exponente entre -1 y -3  siendo -2 la orbita estable con la mínima precesión.

Para una fuerza genérica $$\vec F=-GmM_sr^{e}$$ el Ansatz del potencial puede ser $$U=\dfrac{GmM_sr^{e+1}}{e+1}$$

hacemos el menos gradiente del potencial $$\vec F=-\nabla U=-(\dfrac{\partial U}{\partial r},\dfrac{\partial U}{\partial \theta},\dfrac{\partial U}{\partial \phi})$$

$$\vec F=(-GmM_sr^{e},0,0)$$  que cumple con lo esperado es una fuerza solo con direccion radial contraria al crecimiento de la variable radial

Si planteas el lagrangiano $$L=T-U =\dfrac{1}{2}mv^2-(\dfrac{GmM_sr^{e+1}}{e+1})$$ y resuelves  la ecuación no trivial de la variable r

$${d\over dt }\left({\partial L\over\partial \dot{r}}\right) - {\partial L\over\partial r} = 0$$

llegarás a que la aceleracion radial es  $$\vec g=-GM_sr^{e}$$ como no podría ser de otra manera

Aplicando lo del blog

Lo que sigue es el cálculo de la aceleración de la partícula de prueba en el campo gravitatorio

\( a_r=\dfrac{\partial ^2 r}{\partial t^2}=-GM_sr^e \)

\( a_\theta=\dfrac{\partial ^2 \theta}{\partial t^2}=0 \)

\( a_\phi=\dfrac{\partial ^2 \phi}{\partial t^2}=0 \)

para no elegir un punto arbitrario de inicio elegimos aquellos donde la fuerza centrípeta iguala a la gravitatoria, que debería darnos la trayectoria simétrica circular

$$a_r=-GM_sr^e=\dfrac{-v_{ini}^2}{r}=a_c$$

 $$v_{ini}=\sqrt{GM_sr^{e+1}}$$

Si para ese potencial calculamos la velocidad de escape  por conservación de la energía mecánica suponiendo que tanto la energía cinetica y la potencial se hacen cero al infinito

$$\dfrac12 mv_e^2+\dfrac{GmM_s r^{e+1}}{e+1}=0$$

luego $$v_e=\sqrt{-2\dfrac{gM_sr^{e+1}}{e+1}}$$ entonces si $$\boxed{e\leq-1}$$ hay posibilidad de escape

Sabemos que tendremos órbitas cerradas sino superamos la velocidad de escape es decir que $$v_e=v_{ini}$$ en el límite tendremos una parábola.

$$\sqrt{-2\dfrac{GM_sr^{e+1}}{e+1}}>\sqrt{GM_sr^{e+1}}$$

luego $$\dfrac{-2}{e+1}> 1$$ como $$e+1<0$$

$$-2< e+1$$

$$e> -2-1=-3$$

tendremos órbitas cerradas con posibilidad de escape entonces con exponente $$e\in(-1,-3)$$

con lo que demuestro que para tener espirales hacia el sol se tiene que tener un exponente mayor a -3 y menor a -1 , si se tiene justo la inversa del cubo se tiene una trayectoria parabólica, puesto que la velocidad de escape es igual a la velocidad inicial. Pero si es menor  a -3 entonces partiendo de un estado de un hipotético estado de equilibrio de aceleraciones ,(no lo lanzamos arbitrariamente, con velocidad perpendicular a la direccion radial ), nunca reducirá su distancia radial y escapará, no puede formar entonces trayectorias espirales hacia el interior, a menos que se baje intencionalmente la velocidad tangencial, pero lo mismo sucede si se la baja lo suficiente en el caso de exponente -2.

[magazo]

Hola, todavía no me entero bien lo que buscas, pero te daré una pincelada histórica, para que veas que pequeños en las variable producen cambios profundos en la evolución del sistema.

Como primera recomendación hazte a la idea de que la física nunca te dirá "porqué" las cosas suceden como suceden, sino que intentará explicarte en base a mediciones y proyecciones o extrapolaciones solo "como" suceden las cosas o como se espera que sucedan y de manera aproximada pues siempre los modelos o teorías son perfectibles.

Así desde el modelo de Newton en que la aceleración que provoca un cuerpo masivo respecto de uno de masa despreciable o de prueba cae con el inverso del cuadrado de la distancia al centro de masas del objeto masivo, ha sido lógico preguntarse para mucha gente porque ese exponente y no otro, bueno la respuesta para la física es básicamente que eso es lo que respaldan las observaciones, es decir desde hace 400 años miramos al telescopio y podemos mediante cálculos sencillos predecir en que punto del firmamento estarán todos los cuerpos celestes que registremos, eso se debe a que los cálculos matemáticos que respaldan la teoría son relativamente sencillos, o lo eran.
Al principio del siglo pasado se había observado que con un modelo que nunca fallaba, Mercurio, el planeta mas cercano al sol  describía orbitas en la cual su perihelio precesaba, es decir si bien la orbita era cerrada no coincidía con la posición que pronosticaba la teoría newtoniana con la observada al telescopio, esto podía tener dos causas , había alguna variable que no se tenía en cuenta, o la teoría no es lo suficientemente precisa. Bueno un joven Einstein puso las nuevas reglas de movimiento de los planetas basándose en geometría y ya no tanto en ese exponente, el resultado de su teoría general de la relatividad nos ha hecho comprender de manera mas fácil ciertos fenómenos aunque el cálculo refinado requiere de un bagaje matemático, ya no accesible para principiantes o estudiantes de nivel medio.

La mayoria de los problemas de dos cuerpos sometidos a fuerzas centrales producente trayectoria curvas, estamos familiarizados con la palabra órbita para aquellas que son cerradas pero pueden no serlo , en fin pueden ser de todos los tipos, rectas, elipses, parábolas e hipérbolas cuando el exponente es -2, dependiendo d lo valores de las masas y de la velocidad inicial del objeto de prueba.
Los problemas matemáticos asociados a la solucion de estos problemas requiere de la solucion de ecuaciones diferenciales  y se los suele llama Problema de valor inicial https://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_valor_inicial..

Bueno a que vamos que un exponente diferente a 2 en las ecuaciones de Newton , produce variedad de curvas diferentes para sus trayectorias, lo curioso es que el pronóstico que hace el autor que mencionas creo no se ajusta a la realidad, lo he simulado en ordenador y solo en condiciones fuera de un valor inicial en equilibrio es posible que en algún  caso suceda lo que pronostica.

recapitulemos ,en teoría clasica,consideramos a la gravedad como campo escalar, creado por un potencial asociado a la masa del cuerpo masivo , la fuerza  o bien la aceleración son magnitudes vectoriales que resultan de calcular el menos gradiente de dicho campo, sus componentes   reflejan el  resultado de como varia es potencial con la distancia radial , podemos pensar que la fuerza central va a cambiar de modulo como función del radio elevado a un exponente y entonces proponer un Ansatz https://es.wikipedia.org/wiki/Ansatz de ese potencial para que los vectores que se pueden medir se correspondan entre teoría y practica. Visto está que en el nacimiento del cálculo newton pudo proponer su teoría con el exponente -2 y todos los cálculos basados en ese exponentes son muy fieles ,salvo en la inmediación de masas muy grandes donde es mejor teorizar con relatividad.

Así que para exponentes distintos nunca hubo teoría que contraste con la realidad, si las hay de gravedad modificada pero para explicar  otras observaciones y no tanto el movimiento de los planetario. proponer que la gravedad actué con un exponente distinto a -2  requiere que modifiques el valor de la energía potencial gravitatoria del sistema, cuando lo haces esa ecuación diferencial que presente arrojara que la fuerza variará con otro exponente y no con -2, para el caso particular que propones -3  te presente el análisis donde surge la igualdad entre la velocidad que podría dar producir una trayectoria circular con la velocidad necesaria para alejarse indefinidamente  , la velocidad de escape dando un resultado contradictorio, pero solo eligiendo muy bien  la velocidad  e punto de partida inicial  lograrás una colisión con la estrella, si bien es posible  la regla general es alejarse del sistema indefinidamente.
Para exponentes menores a -3 e (-4,-5 etc) efecto es mas marcado así que por ese lado las colisiones no vendrían.
las orbitas cerradas son las que probabilísticamente pueden hacer colisionar  dos o mas planetas entre sí, y estas son posibles con exponente entre -1 y -3  siendo -2 la orbita estable con la mínima precesión.

Para una fuerza genérica $$\vec F=-GmM_sr^{e}$$ el Ansatz del potencial puede ser $$U=\dfrac{GmM_sr^{e+1}}{e+1}$$

hacemos el menos gradiente del potencial $$\vec F=-\nabla U=-(\dfrac{\partial U}{\partial r},\dfrac{\partial U}{\partial \theta},\dfrac{\partial U}{\partial \phi})$$

$$\vec F=(-GmM_sr^{e},0,0)$$  que cumple con lo esperado es una fuerza solo con direccion radial contraria al crecimiento de la variable radial

Si planteas el lagrangiano $$L=T-U =\dfrac{1}{2}mv^2-(\dfrac{GmM_sr^{e+1}}{e+1})$$ y resuelves  la ecuación no trivial de la variable r

$${d\over dt }\left({\partial L\over\partial \dot{r}}\right) - {\partial L\over\partial r} = 0$$

llegarás a que la aceleracion radial es  $$\vec g=-GM_sr^{e}$$ como no podría ser de otra manera

Aplicando lo del blog

Lo que sigue es el cálculo de la aceleración de la partícula de prueba en el campo gravitatorio

\( a_r=\dfrac{\partial ^2 r}{\partial t^2}=-GM_sr^e \)

\( a_\theta=\dfrac{\partial ^2 \theta}{\partial t^2}=0 \)

\( a_\phi=\dfrac{\partial ^2 \phi}{\partial t^2}=0 \)

para no elegir un punto arbitrario de inicio elegimos aquellos donde la fuerza centrípeta iguala a la gravitatoria, que debería darnos la trayectoria simétrica circular

$$a_r=-GM_sr^e=\dfrac{-v_{ini}^2}{r}=a_c$$

 $$v_{ini}=\sqrt{GM_sr^{e+1}}$$

Si para ese potencial calculamos la velocidad de escape  por conservación de la energía mecánica suponiendo que tanto la energía cinetica y la potencial se hacen cero al infinito

$$\dfrac12 mv_e^2+\dfrac{GmM_s r^{e+1}}{e+1}=0$$

luego $$v_e=\sqrt{-2\dfrac{gM_sr^{e+1}}{e+1}}$$ entonces si $$\boxed{e\leq-1}$$ hay posibilidad de escape

Sabemos que tendremos órbitas cerradas sino superamos la velocidad de escape es decir que $$v_e=v_{ini}$$ en el límite tendremos una parábola.

$$\sqrt{-2\dfrac{GM_sr^{e+1}}{e+1}}>\sqrt{GM_sr^{e+1}}$$

luego $$\dfrac{-2}{e+1}> 1$$ como $$e+1<0$$

$$-2< e+1$$

$$e> -2-1=-3$$

tendremos órbitas cerradas con posibilidad de escape entonces con exponente $$e\in(-1,-3)$$

con lo que demuestro que para tener espirales hacia el sol se tiene que tener un exponente mayor a -3 y menor a -1 , si se tiene justo la inversa del cubo se tiene una trayectoria parabólica, puesto que la velocidad de escape es igual a la velocidad inicial. Pero si es menor  a -3 entonces partiendo de un estado de un hipotético estado de equilibrio de aceleraciones ,(no lo lanzamos arbitrariamente, con velocidad perpendicular a la direccion radial ), nunca reducirá su distancia radial y escapará, no puede formar entonces trayectorias espirales hacia el interior, a menos que se baje intencionalmente la velocidad tangencial, pero lo mismo sucede si se la baja lo suficiente en el caso de exponente -2.

Excelente gracias. Estoy en un nivel zZmansky; mi idea es profundizar en una física general  mas analítica hacer mas demostraciones, etc. No se que le parece el libro de Landau. Goldstein o alguno que conozca que vaya por ese camino gracias!!