[sbmin]

En otro hilo me salió una expresión y me pregunto si es un número trascendente.

\( \displaystyle\sum_{i=2}^\infty({\sqrt[i]{2}-1)} \)

Parece que se estanca antes de llegar a 3.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

En otro hilo me salió una expresión y me pregunto si es un número trascendente.

\( \displaystyle\sum_{i=2}^\infty({\sqrt[i]{2}-1)} \)

Parece que se estanca antes de llegar a 3.

Esa seríe no converge. Se puede razonar con el criterio de comparación por paso al límite:

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\dfrac{2^{1/n}-1}{1/n}=\displaystyle\lim_{x \to 0}{}\dfrac{2^x-1}{x} \)

Aplicando L'Hopital:

\( \displaystyle\lim_{x \to 0}{}\dfrac{2^x-1}{x}=\displaystyle\lim_{x \to 0}{}\dfrac{2^x\cdot ln(2)}{1}=ln(2) \)

Por tanto la serie indicada tiene el mismo carácter que la serie armónica \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}1/n \) y así diverge (dicho de otra manera su suma es infinito).



Es falso que se estanque antes de llegar a \( 3 \) aquí tienes la gráfica hasta los mil primeros sumandos:

Saludos.

[sbmin]

Hola

En otro hilo me salió una expresión y me pregunto si es un número trascendente.

\( \displaystyle\sum_{i=2}^\infty({\sqrt[i]{2}-1)} \)

Parece que se estanca antes de llegar a 3.

Esa seríe no converge. Se puede razonar con el criterio de comparación por paso al límite:

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\dfrac{2^{1/n}-1}{1/n}=\displaystyle\lim_{x \to 0}{}\dfrac{2^x-1}{x} \)

Aplicando L'Hopital:

\( \displaystyle\lim_{x \to 0}{}\dfrac{2^x-1}{x}=\displaystyle\lim_{x \to 0}{}\dfrac{2^x\cdot ln(2)}{1}=ln(2) \)

No entendí este paso: \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\dfrac{2^{1/n}-1}{1/n} \) pues a mí me parece esto \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}{2^{1/n}-1}=0 \)

[sbmin]

Cierto es que pasa de 3, aquí he calculado 10000 pasos.

Y llega a 6.258069410156619

https://www.mathsisfun.com/numbers/sigma-calculator.html

[Luis Fuentes]

Hola

No entendí este paso: \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\dfrac{2^{1/n}-1}{1/n} \) pues a mí me parece esto \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}{2^{1/n}-1}=0 \)

Son cosas distintas. Es cierto que \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}{2^{1/n}-1}=0 \), pero eso no quiere decir que la suma sea finita, que la suma converja.

Por ejemplo la famosa serie armónica:

\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}\dfrac{1}{n} \)

diverge (su suma es infinito) a pesar de que  \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}1/n=0 \).

Entonces para decidir si converge o no he usado el criterio de comparación por paso al límite que enlacé en mi mensaje anterior, precisamente comparándola con la serie armónica.

Saludos.

[sbmin]

Ok gracias, saludos.