Hola
Estaba trasteando con el producto de Wallis y me preguntaba si esto es correcto:
\( Pi=2[\displaystyle\frac{2·2}{1·3}·\displaystyle\frac{4·4}{3·5}·\displaystyle\frac{6·6}{5·7}·...] \)
\( Pi=2[\displaystyle\frac{2^2·4^2·6^2·8^2·10^2...}{3^2·5^2·7^2·9^2·11^2...}] \)
Si esto es correcto entonces, ¿se puede simplificar cada cuadrado impar del denominador con su doble del numerados hasta dejar el denominador a 1 de modo que nos queda algo así?:
\( Pi=2[\displaystyle\frac{2^2·4^2·2^2·8^2·2^2·12^2·2^2·16^2·2^2·...}{1}]=2[\displaystyle\frac{2^6·1^2·2^6·2^2·2^6·3^2·2^6·4^2·2^6·...}{1}] \)
\( Pi=2[(1^2·2^2·3^2·4^2·5^2·...)(2^{6(1+1+1+1+...)}] \)
No. De manera precisa el producto:
\( \displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{2n}{2n-1}\cdot \dfrac{2n}{2n+1}\right) \)
signifca:
\( \displaystyle\lim_{k \to \infty}{}a_k \)
donde \( a_k=\displaystyle\prod_{n=1}^{k}\left(\dfrac{2n}{2n-1}\cdot \dfrac{2n}{2n+1}\right) \)
Es decir es el límite de la sucesión:
\( a_1=\left(\dfrac{2^2}{1\cdot 3}\right) \)
\( a_2=\left(\dfrac{2^2}{1\cdot 3}\right)\left(\dfrac{4^2}{3\cdot 5}\right) \)
\( a_3=\left(\dfrac{2^2}{1\cdot 3}\right)\left(\dfrac{4^2}{3\cdot 5}\right)\left(\dfrac{6^2}{5\cdot 7}\right) \)
etcétera...
No puedes coger algunos denomidadores de \( a_n \) y simplifcarlos con algunos numeradores de \( a_m \) con m>n porque entonces cambias la sucesión.
Por ponerte un ejemplo trivial. No es lo mismo:
\( \displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{n}{n+1}\right)=0 \) (*)
que:
\( \displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{n}{n}\right)=1 \) (**)
aunque en ambos casos en el numerador y denominador si los juntas como tu haces en un producto infinito sin importarte como agrupamos quede:
\( \dfrac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\ldots}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\ldots} \)
En el primer caso (*) es el límite de la sucesión:
\( a_1=\dfrac{1}{2} \)
\( a_2=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3} \)
\( a_3=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4} \)
es decir, el límite de \( a_n=1/n \) que es cero.
En el segundo caso (**) es el límite de la sucesión:
\( a_1=\dfrac{1}{1} \)
\( a_2=\dfrac{1}{1}\cdot \dfrac{2}{2}=1 \)
\( a_3=\dfrac{1}{1}\cdot \dfrac{2}{2}\cdot \dfrac{3}{3}=1 \)
es decir, el límite de \( a_n=1 \) que es uno.
Saludos.
