[RDC]

Presento la siguiente secuencia de números distribuida en filas y columnas




Lo que me gustaría es hallar el método más rápido posible para hallar cuando dos números de dos filas consecutivas son iguales.

Gracias

[ancape]

.......
Lo que me gustaría es hallar el método más rápido posible para hallar cuando dos números de dos filas consecutivas son iguales.

No sé a que te refieres cuando hablas del 'método más rápido'.Yo he encontrado un método pero no sé si otra persona lo haría más rápidamente.

Supongo que el número de filas del triángulo es indefinido y que el paso de una fila a otra sigue la secuencia que se puede inferir fácilmente de los datos que se dan. En ese caso, la condición necesaria y suficiente para que una fila tenga un número igual que la siguiente es que su orden sea múltiplo de 3. (Se puede probar fácilmente por inducción y poniendo en función de n (fila considerada) los números de esta fila.

Saludos

[Richard R Richard]

Hola, observa que en la fila n esta compuesta por valores como $$(1n,2(n-1),3(n-2),4(n-3),....)$$ si observas crecen hasta n/2 luego se repiten
puedes generar los valores de una fila con $$kn-(k-1)k$$ con $$k \in [1, n]$$

del mismo modo los de la fila siguiente con $$i(n+1)-(i-1)i$$ con $$i \in [1, n+1]$$

tu quieres ver cuando puede haber coincidencia así que igualas y tratas de ver que relacion debe existir entre i y k

$$kn-(k-1)k=kn-k^2-k=i(n+1)-(i-1)k=in+i-i^2+i=in+2i-i^2$$

despejo \( n =\dfrac{i^2-k^2+k-2i}{i-k} \)  y esto debe ser un entero

si separo en distintos miembros el numerador

$$n=\dfrac{i^2-k^2}{i-k}+\dfrac{k-i}{i-k}-\dfrac{i}{i-k}$$

simplificando

$$n=\overbrace{(i+k)-1}^{entero}-\dfrac{i}{i-k}$$

por lo que solo queda encontrar que puede hacer que el miembro $$\dfrac{i}{i-k}$$ sea un entero  para que exista la posibilidad de igualación

si ese entero existe lo llamo $$\gamma$$ tiene que cumplir que $$\gamma=\dfrac{i}{i-k}$$ o sea que

$$\gamma (i-k)=i$$

$$\gamma i -\gamma k = i$$

$$i(\gamma - 1) =\gamma k$$

$$\color{blue}i\left(1-\dfrac{1}{\gamma}\right)=k\color{black}$$  Gracias ani_pascual

como tanto k como i son enteros los únicos valores de $$\gamma$$ que pueden satisfacer la relación es $$\gamma=1$$ o $$\gamma=-1$$

luego

$$\gamma =1\to  i=k+1 $$

y si

$$\gamma =-1\to  i=k-1 $$

osea en una fila n solo pueden coincidir los elementos numerados mayores en una unidad de la fila de arriba, o  menores en una unidad de la fila de abajo.

fijate que los tres ejemplos resaltados lo cumplen

así que cada miembro de una fila no lo tienes que cotejar contra toda la fila inferior o superior sino con  el elemento con un índice mas de la fila anterior  o con de un índice menos de la fila posterior, lo que en programación te reduce el tiempo de cuadratico a lineal.


Pd leyendo a ancape saco la conclusión de que si $$n$$ es múltiplo de $$3$$  el elemento $$n/3+1$$ de esa fila coincide con el $$n/3$$ de la fila $$n+1$$

saludos

[ani_pascual]

Hola, observa que en la fila n esta compuesta por valores como $$(1n,2(n-1),3(n-2),4(n-3),....)$$ si observas crecen hasta n/2 luego se repiten
puedes generar los valores de una fila con $$kn-(k-1)k$$ con $$k \in [1, n]$$

del mismo modo los de la fila siguiente con $$i(n+1)-(i-1)i$$ con $$i \in [1, n+1]$$

tu quieres ver cuando puede haber coincidencia así que igualas y tratas de ver que relacion debe existir entre i y k

$$kn-(k-1)k=kn-k^2-k=i(n+1)-(i-1)k=in+i-i^2+i=in+2i-i^2$$

despejo \( n =\dfrac{i^2-k^2+k-2i}{i-k} \)  y esto debe ser un entero

si separo en distintos miembros el numerador

$$n=\dfrac{i^2-k^2}{i-k}+\dfrac{k-i}{i-k}-\dfrac{i}{i-k}$$

simplificando

$$n=\overbrace{(i+k)-1}^{entero}-\dfrac{i}{i-k}$$

por lo que solo queda encontrar que puede hacer que el miembro $$\dfrac{i}{i-k}$$ sea un entero  para que exista la posibilidad de igualación

si ese entero existe lo llamo $$\gamma$$ tiene que cumplir que $$\gamma=\dfrac{i}{i-k}$$ o sea que

$$\gamma (i-k)=i$$

$$\gamma i -\gamma k = i$$

$$i(\gamma - 1) =\gamma k$$

$$\textcolor{red}{i-\dfrac{1}{\gamma}=k}$$

como tanto k como i son enteros los únicos valores de $$\gamma$$ que pueden satisfacer la relación es $$\gamma=1$$ o $$\gamma=-1$$

luego

$$\gamma =1\to  i=k+1 $$

y si

$$\gamma =-1\to  i=k-1 $$

osea en una fila n solo pueden coincidir los elementos numerados mayores en una unidad de la fila de arriba, o  menores en una unidad de la fila de abajo.

fijate que los tres ejemplos resaltados lo cumplen

así que cada miembro de una fila no lo tienes que cotejar contra toda la fila inferior o superior sino con  el elemento con un índice mas de la fila anterior  o con de un índice menos de la fila posterior, lo que en programación te reduce el tiempo de cuadratico a lineal.


Pd leyendo a ancape saco la conclusión de que si $$n$$ es múltiplo de $$3$$  el elemento $$n/3+1$$ de esa fila coincide con el $$n/3$$ de la fila $$n+1$$

saludos

Hola:
Lo que está marcado en rojo ¿no debería ser \( i\left(1-\dfrac{1}{\gamma}\right)=k \)?
Saludos

[Richard R Richard]

Hola:
Lo que está marcado en rojo ¿no debería ser \( i\left(1-\dfrac{1}{\gamma}\right)=k \)?
Saludos

Si, gracias, ya lo corrijo, lo que no cambia es la conclusión de que es necesario $$1/\gamma$$ entero para que se establezca la relación entre enteros.
Edito Ahahaha!, si que se cambian mis conclusiones, revisaré




Si \( \gamma =1\to  i=k+1 \) hay n posibilidades mientras \( 1\leq i\leq n+1 \)

Si \( \gamma =-1\to  i=2k \) hay otra serie de posibilidades mientras \( 2k\leq n \)

Saludos

[RDC]

Gracias a todos, luego me lo miro con más atención y si es lo que busco os cuento el porqué lo busco.

Richard, una duda rápida que tengo que irme: con lo que has puesto sería factible, dada una fila n cualquiera saber si existe un número de esa fila que se repite en la fila anterior o posterior, y cuál sería tal número(es importante saber el número)?

Por ejemplo, la fila 14568: si se aplica lo que dices podemos saber mediante unos pocos pasos si hay o no hay un número (o varios) que se repiten en la 14567 o bien, en la fila 14569? Y cuál o cuáles serían estos numeros!

Gracias

[Richard R Richard]

El elemento ubicado en la posición 4857 de la fila 14568 se repite con el elemento ubicado en posoon 4856 de la fila 14569..

Solo ampliando la tabla podrás encontrar si los hay elementos de la fila $$n$$ ubicados en posición par $$k=2i$$, que se repita con el elemento ubicado en posición $$i$$ de la fila $$n+1$$

Quizá encontrando más de un par se pueda pronosticar donde más aparecen como en el otro caso.



Saludos

[RDC]

Hola Richard y ani_pascual. Por temas profesionales he estado casi una semana fuera y no he podido ni consultar el foro.

Ahora me estaba mirando lo que me propusiste Richard. Iré comentando dudas paso a paso:

primero: al final de tu primer comentario, dices:

Pd leyendo a ancape saco la conclusión de que si $$n$$ es múltiplo de $$3$$  el elemento $$n/3+1$$ de esa fila coincide con el $$n/3$$ de la fila $$n+1$$

saludos

Pongamos ejemplos:


A) en la fila 3 tenemos el 4 (segundo elemento de la fila 3) que se repite en la fila (3+1=4) (el primer elemento de la fila 4)

B) En la fila 6 tenemos el 12 (tercer elemento de la fila 6), que se repite en la fila (6+1=7) (el segundo elemento de la fila 7)

C) En la fila 9 tenemos el 24 (cuarto elemento de la fila 9), que se repite en la fila (9+1=10) (el tercer elemento de la fila 10).

D) en cambio, en la fila 12 tenemos el 36 (cuarto elemento de la fila 12), que se repite en la fila (12-1=11)(el sexto elemento de la fila 11)

En este sentido, no me cuadra o no entiendo esta observación que apuntaste.


Segundo:

En esta primera contestación entiendo que la variable $$n$$ corresponde al número de fila. A qué corresponde $$k$$?

En cualquier caso obtienes la ecuación:

simplificando

$$n=\overbrace{(i+k)-1}^{entero}-\dfrac{i}{i-k}$$, $$\gamma=\dfrac{i}{i-k}$$

Y luego comentas que hay dos opciones según sea el valor de $$\gamma=\dfrac{i}{i-k}$$:

a) $$\gamma=\dfrac{i}{i-k}=1$$. Con $$i=k+1$$. Con lo cual:

$$n=\overbrace{(i+k)-1}^{entero}-1=(k+k+1)-2$$

$$\displaystyle\frac{n+1}{2}=k$$


b) $$\gamma=\dfrac{i}{i-k}=-1$$. Con $$i=k-1$$. Con lo cual:
 
$$n=\overbrace{(i+k)-1}^{entero}+1=(k+k-1)$$

$$\displaystyle\frac{n+1}{2}=k$$

Por tanto, si no me he equivocado en los dos casos me sale el mismo resultado:

Dada una fila $$n$$ entonces:

$$k=\displaystyle\frac{n+1}{2}$$

Por ejemplo:

Para la fila 10:

$$\displaystyle\frac{10+1}{2}=...$$ no me sale ningún entero. ¿Qué he hecho mal?

Gracias

[Pie]

No he seguido muy a fondo el hilo pero parece que las filas que lo cumplen siguen esta secuencia: https://oeis.org/A153238

Que serían todos los \( k \) que hacen que \( 2k + 3 \) sea compuesto..

Saludos.

[Richard R Richard]

A) en la fila 3 tenemos el 4 (segundo elemento de la fila 3) que se repite en la fila (3+1=4) (el primer elemento de la fila 4)

B) En la fila 6 tenemos el 12 (tercer elemento de la fila 6), que se repite en la fila (6+1=7) (el segundo elemento de la fila 7)

C) En la fila 9 tenemos el 24 (cuarto elemento de la fila 9), que se repite en la fila (9+1=10) (el tercer elemento de la fila 10).

D) en cambio, en la fila 12 tenemos el 36 (cuarto elemento de la fila 12), que se repite en la fila (12-1=11)(el sexto elemento de la fila 11)

En este sentido, no me cuadra o no entiendo esta observación que apuntaste.

Ojo sería el quinto elemento de la fila 12 que se repite con el cuarto la fila 13 .... coinciden? chequea

Segundo:

En esta primera contestación entiendo que la variable $$n$$ corresponde al número de fila. A qué corresponde $$k$$?

$$k$$ es la posición de número que se repite en la fila $$n$$


 el elemento ubicado en la posición $$i$$ de la fila $$n+1$$ puede repetir con elemento en la posición $$k$$ de la fila $$n$$  cuando $$k=2i$$


Es decir el elemento $$i=23$$ de la fila $$n+1=401$$ puede repetir con el elemento $$k=46=2\cdot23$$ de la fila $$400$$ por poner un ejemplo que no se si verifica, pero son los que debes checar y no todos.
el 1 de la 401 con el 2 de la 400
el 2 de  la 401 con el 4 de la 400...
el 23 de la 401 con 46 de la 400   se entiende?