[hahn-banach]

Buenas tardes, estoy teniendo problemas con el siguiente ejercicio acerca de series de números reales:

Sea \( \left\{x_n \right\}_{n \in \mathbb N}  \) una sucesión decreciente de números reales positivos, tal que \( 3 x_{2n}<x_n \ \forall n \in \mathbb{N} \). ¿La serie \( \displaystyle\sum_{n\geq 1}{x_n} \) es convergente? Demostrarlo o dar un contraejemplo.

¿Alguien sabría resolverlo? Gracias de antemano.

[Gustavo]

Hola. Bienvenido al foro.

Sea \( \left\{x_n \right\}_{n \in \mathbb N}  \) una sucesión decreciente de números reales positivos, tal que \( 3 x_{2n}<x_n \ \forall n \in \mathbb{N} \). ¿La serie \( \displaystyle\sum_{n\geq 1}{x_n} \) es convergente? Demostrarlo o dar un contraejemplo.

Una idea es acotar la suma superiormente tomando bloques de a \( 2^n \) términos y luego usar la propiedad que te dan sobre los términos de la forma \( x_{2^n} \):

\( \displaystyle \sum_{n=2}^{2^k-1} x_n = \sum_{i=1}^{k-1} \;\sum_{n=2^{i}}^{2^{i+1}-1} x_n \le \sum_{i=1}^{k-1} \; \sum_{n=2^{i}}^{2^{i+1}-1} x_{2^i} = \sum_{i=1}^{k-1} 2^{i}x_{2^{i}} \le \sum_{i=1}^{k-1}\frac{2^i}{3^i}x_1 \).

[ani_pascual]

Buenas tardes, estoy teniendo problemas con el siguiente ejercicio acerca de series de números reales:

Sea \( \left\{x_n \right\}_{n \in \mathbb N}  \) una sucesión decreciente de números reales positivos, tal que \( 3 x_{2n}<x_n \ \forall n \in \mathbb{N} \). ¿La serie \( \displaystyle\sum_{n\geq 1}{x_n} \) es convergente? Demostrarlo o dar un contraejemplo.

¿Alguien sabría resolverlo? Gracias de antemano.

Hola:
Otra idea, pero que no vale  :
Si \( x_{2n}<\dfrac{x_n}{3}\,\,\forall\,n\in\mathbb{N} \) entonces no es cierto que
\( x_{2n}<\dfrac{x_1}{3^n} \) \( \Longrightarrow\displaystyle \sum\limits_{n\geq 1}x_{2n}<\infty \) ya que su término general es menor que el de otra serie convergente (criterio de Gauss).
Por otra parte, \( x_{2n+1}<x_{2n} \) luego \( \displaystyle\sum\limits_{n\geq 1}x_{2n+1}<\infty \)
En definitiva, \( \displaystyle\sum\limits_{n\geq 1}x_n<\infty \)
Si no me equivoco, creo que ese razonamiento es correcto. Pues me he equivocado. 
Saludos

[Gustavo]

Hola.

Si \( x_{2n}<\dfrac{x_n}{3}\,\,\forall\,n\in\mathbb{N} \) entonces
\( x_{2n}<\dfrac{x_1}{3^n}\Longrightarrow\displaystyle \sum\limits_{n\geq 1}x_{2n}<\infty \)

No creo que de \( 3x_{2n}<x_n \) se pueda deducir que \( x_{2n}<\dfrac{x_1}{3^n} \).

Por ejemplo, no se cumple si la sucesión empieza con los términos

\( 1,\, \dfrac14,\, \dfrac15, \, \dfrac{1}{13}, \, \dfrac{1}{14}, \, \dfrac{1}{16}, \,\ldots \)

porque \( x_6=\dfrac{1}{16} \not< \dfrac{1}{3^3} \).

[ani_pascual]

Hola.

Si \( x_{2n}<\dfrac{x_n}{3}\,\,\forall\,n\in\mathbb{N} \) entonces
\( x_{2n}<\dfrac{x_1}{3^n}\Longrightarrow\displaystyle \sum\limits_{n\geq 1}x_{2n}<\infty \)

No creo que de \( 3x_{2n}<x_n \) se pueda deducir que \( x_{2n}<\dfrac{x_1}{3^n} \).

Por ejemplo, no se cumple si la sucesión empieza con los términos

\( 1,\, \dfrac14,\, \dfrac15, \, \dfrac{1}{13}, \, \dfrac{1}{14}, \, \dfrac{1}{16}, \,\ldots \)

porque \( x_6=\dfrac{1}{16} \not< \dfrac{1}{3^3} \).

Hola:
¡Ya me parecía a mí, que no podía ser tan sencillo!  Releeré tu idea, a ver si la entiendo, Por cierto, después de la ayuda que me ofreciste a la primera pregunta que hice en el foro, en agosto de este año, apenas había vuelto a leer más intervenciones tuyas. Espero que todo vaya bien.
Saludos

[Gustavo]

Por cierto, después de la ayuda que me ofreciste a la primera pregunta que hice en el foro, en agosto de este año, apenas había vuelto a leer más intervenciones tuyas. Espero que todo vaya bien.

Sí, todo bien, gracias. No tengo una participación activa en el foro estos últimos años a pesar de que lo visito frecuentemente. En particular leo tus aportes y me alegra que te hayas quedado en el foro.