[alucard]

Un automóvil está parado en un semáforo esperando a que se ponga en verde, en el
instante en que esto ocurre es adelantado por un camión con vector velocidad constante \( v = (60, 0) km/h \); 2 segundos más tarde arranca el automóvil con vector aceleración constante \( a = (2, 0) m/s^2 \)
 y que después de 15 segundos de estar acelerando mantiene la
velocidad adquirida. Hallar
¿ a qué distancia  del semáforo se produce el encuentro?

Planteo lo siguiente

\( x_c=\dfrac{50}{3}t \)

\( x_a=(t-2)^2\\ v_a=2(t-2) \)

luego de 15 s , \( x_a(15)=169m \quad x_c(15)=250 m\quad v_a(15)=26 m/s \)

de donde el encuentro se produce cuando

\( x_c=\dfrac{50}{3}t=x'_c=169+26(t-15) \)

pero no me esta dando la respuesta de la guía 

[Pie]

Lo he mirado un poco por encima pero diría que tienes que evaluar después de \( 17 s \) y no de \( 15 \), ya que el camión lleva \( 17s \) a esa velocidad, y el coche tiene que estar \( 15s \) acelerando desde el reposo, pero si haces \( x_a = (t - 2)^2 \) y evaluas en \( t = 15 \) solo estaría acelerando durante \( 13s \), y lo mismo con la velocidad instantánea final.

Luego tendrías que plantear:

\[ v_a(17)t - x_c(17)+ x_a(17) = \displaystyle\frac{50}{3}t \]

Que sumados a los \( 17 \) que llevaba el camión, daría el tiempo en el que se encuentran, desde que el camión pasó por el semáforo (luego usando la velocidad de este, que siempre fue constante, ya saldría fácil la distancia).

Si no me he liado con nada, claro.

Saludos

[ani_pascual]

Un automóvil está parado en un semáforo esperando a que se ponga en verde, en el
instante en que esto ocurre es adelantado por un camión con vector velocidad constante \( v = (60, 0) km/h \); 2 segundos más tarde arranca el automóvil con vector aceleración constante \( a = (2, 0) m/s^2 \)
 y que después de 15 segundos de estar acelerando mantiene la
velocidad adquirida. Hallar
¿ a qué distancia  del semáforo se produce el encuentro?

Planteo lo siguiente

\( x_c=\dfrac{50}{3}t \)

\( x_a=(t-2)^2\\ v_a=2(t-2) \)

luego de 15 s , \( x_a(15)=169m \quad x_c(15)=250 m\quad v_a(15)=26 m/s \)

de donde el encuentro se produce cuando

\( x_c=\dfrac{50}{3}t=x'_c=169+26(t-15) \)

pero no me esta dando la respuesta de la guía 

Hola:
Lo que ocurre es que para cuando el automóvil lleva 15 s en movimiento, el camión lleva 17 s y la distancia recorrida por el camión en ese tiempo es mayor que la recorrida por el automóvil, de tal manera que el encuentro entre ambos se produce cuando el automóvil lleva ya velocidad constante,
Así pues las ecuaciones del movimiento de ambos son:
\( \left\{\begin{array}{lr}x_c=\dfrac{50}{3}t;& t\geq 0\\x_a=\left\{\begin{array}{l}0&0\leq t\leq 2\\(t-2)^2;&2\leq t\leq 17\\225+\textcolor{red}{30}(t-17)&17\leq t\end{array}\right.\end{array}\right. \)
Por lo cual, \( x_c=x_a\Longleftrightarrow \dfrac{50}{3}t=225+\textcolor{red}{30}(t-17)\Longleftrightarrow t\simeq \textcolor{red}{21,38}\,s\Longrightarrow \boxed{x_a=x_c=\textcolor{red}{363,38}\,m} \)
Eso es lo que me parece.
Saludos
Corregido. Gracias, Pie, por la corrección

[Pie]

Un automóvil está parado en un semáforo esperando a que se ponga en verde, en el
instante en que esto ocurre es adelantado por un camión con vector velocidad constante \( v = (60, 0) km/h \); 2 segundos más tarde arranca el automóvil con vector aceleración constante \( a = (2, 0) m/s^2 \)
 y que después de 15 segundos de estar acelerando mantiene la
velocidad adquirida. Hallar
¿ a qué distancia  del semáforo se produce el encuentro?

Planteo lo siguiente

\( x_c=\dfrac{50}{3}t \)

\( x_a=(t-2)^2\\ v_a=2(t-2) \)

luego de 15 s , \( x_a(15)=169m \quad x_c(15)=250 m\quad v_a(15)=26 m/s \)

de donde el encuentro se produce cuando

\( x_c=\dfrac{50}{3}t=x'_c=169+26(t-15) \)

pero no me esta dando la respuesta de la guía 

Hola:
Lo que ocurre es que para cuando el automóvil lleva 15 s en movimiento, el camión lleva 17 s y la distancia recorrida por el camión en ese tiempo es mayor que la recorrida por el automóvil, de tal manera que el encuentro entre ambos se produce cuando el automóvil lleva ya velocidad constante,
Así pues las ecuaciones del movimiento de ambos son:
\( \left\{\begin{array}{lr}x_c=\dfrac{50}{3}t;& t\geq 0\\x_a=\left\{\begin{array}{l}0&0\leq t\leq 2\\(t-2)^2;&2\leq t\leq 17\\225+34(t-17)&17\leq t\end{array}\right.\end{array}\right. \)
Por lo cual, \( x_c=x_a\Longleftrightarrow \dfrac{50}{3}t=225+34(t-17)\Longleftrightarrow t\simeq 20,37\,s\Longrightarrow \boxed{x_a=x_c=339,42\,m} \)
Eso es lo que me parece.
Saludos

Pero deberia ser \( \color{red}30\color{black}(t-17) \) ¿no? Con esa corrección me daría lo mismo que a ti..

Saludos.

[ani_pascual]

Pero deberia ser \( \color{red}30\color{black}(t-17) \) ¿no? Con esa corrección me daría lo mismo que a ti..

Saludos.

Hola, Pie.  Sí, llevas toda la razón, ha sido un despiste  ; a los 17 s, la velocidad del automóvil es \( v_a=2\cdot (17-2) =30\,m/s \)
Saludos

[alucard]

Hola , gracias a ambos , tengo una duda , entiendo que el camión lleva 17 segundos por delante del automovil , lo que no entiendo es porque en la ecuación horaria del auto ponen

\( x_a(t)=225+30(t-17) \) no debe ser \( (t-15) \) ?

¿nó están considerados los 2 segundos después en la la segunda ecuación?

en la primera entiendo que esa ecuación considera que el auto salió desde el instante t=0

 

[ani_pascual]

Hola , gracias a ambos , tengo una duda , entiendo que el camión lleva 17 segundos por delante del automovil , lo que no entiendo es porque en la ecuación horaria del auto ponen

\( x_a(t)=225+30(t-17) \) no debe ser \( (t-15) \) ?

¿nó están considerados los 2 segundos después en la la segunda ecuación?

en la primera entiendo que esa ecuación considera que el auto salió desde el instante t=0

 

Hola;
El tiempo \( t \) es el mismo para ambos móviles y empieza a contar en el mismo instante, lo que ocurre es que durante los dos primeros segundos el automóvil está en reposo en el semáforo. Observa cómo es la ecuación del movimiento del camión y del automóvil, ésta última está definida a trozos:
\( \left\{\begin{array}{lr}x_c=\dfrac{50}{3}t;& t\geq 0\\x_a=\left\{\begin{array}{l}0&0\leq t\leq 2\\(t-2)^2;&2\leq t\leq 17\\225+30(t-17)&17\leq t\end{array}\right.\end{array}\right. \)

A la hora de igualar la ecuación del camión con la del automóvil se usa la tercera expresión de la ecuación del automóvil porque el encuentro ha de producirse después de los 17 s, ya que en ese tiempo el camión ha recorrido más distancia que el automóvil. En el instante \( t=17\,s \) el camión está en \( x_c=\dfrac{50}{3}\cdot 17=283,33\,m \) y, sin embargo el automóvil está en \( x_a=225+30(17-17)=225\,m \).

Por lo cual, \( x_c=x_a\Longleftrightarrow \dfrac{50}{3}t=225+30(t-17)\Longleftrightarrow t\simeq 21,38\,s\Longrightarrow \boxed{x_a=x_c=363,38\,m} \)

Saludos

[alucard]

Muchas gracias.