[lina.galvis]

Me podrían ayudar por favor con la siguiente demostración.

Sean \( {a_{n}} \), \( {b_{n}} \) sucesiones de números reales. Sea \( {a_{n}} \) acotada y asuma que \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{b_{n}}=0 \). Veamos que \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{a_{n}b_{n}}=0 \).

Como \( {a_{n}} \) es acotada entonces admite una subsucesion \( {a_{n_{k}}} \) que es convergente, supongamos que converge
 a \( a \). Así el \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{a_{n_{k}}b_{n}}=a \cdot 0=0 \).

Mi pregunta es, ¿si puedo irme por este lado para demostrar lo que me piden y como concluyo que toda la sucesión cumple el limite?

[Luis Fuentes]

Hola

Sean \( {a_{n}} \), \( {b_{n}} \) sucesiones de números reales. Sea \( {a_{n}} \) acotada y asuma que \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{b_{n}}=0 \). Veamos que \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{a_{n}b_{n}}=0 \).

Como \( {a_{n}} \) es acotada entonces admite una subsucesion \( {a_{n_{k}}} \) que es convergente, supongamos que converge
 a \( a \). Así el \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{a_{n_{k}}b_{n}}=a \cdot 0=0 \).

Mi pregunta es, ¿si puedo irme por este lado para demostrar lo que me piden y como concluyo que toda la sucesión cumple el limite?

No está bien porque no puedes usar el límite una subsucesión combinado con el límite de una sucesión, es decir, en general no es cierto que el límite del producto de dos sucesiones sea igual al producto de los límites de una de ellas por el producto del límite de una subsucesión de la otra.

Simplemente si \( a_n \) es acotada entonces \( -M<a_n<M \) para un cierto \( M>0 \) y entonces:

\( -Mb_n<a_nb_n<Mb_n \)

Ahora basta aplicar el Teorema del Sandwich.

Saludos.

[ani_pascual]

Me podrían ayudar por favor con la siguiente demostración.

Sean \( {a_{n}} \), \( {b_{n}} \) sucesiones de números reales. Sea \( {a_{n}} \) acotada y asuma que \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{b_{n}}=0 \). Veamos que \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{a_{n}b_{n}}=0 \).

Como \( {a_{n}} \) es acotada entonces admite una subsucesion \( {a_{n_{k}}} \) que es convergente, supongamos que converge
 a \( a \). Así el \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{a_{n_{k}}b_{n}}=a \cdot 0=0 \).

Mi pregunta es, ¿si puedo irme por este lado para demostrar lo que me piden y como concluyo que toda la sucesión cumple el limite?

Hola:
Además de lo que te han indicado, otra manera es usando la definición:
Como \( \{a_n\} \) es acotada,\( \exists\,M>0 \) tal que \( |a_n|\leq M\,\,\,\forall\,n\geq 1 \). Por otra parte, como es \( \lim\limits_{n\to\infty}b_n=0 \), se tiene que \( \forall\,\varepsilon > 0 \exists\,n_0\in\mathbb{N} \) tal que \( \forall\,n\geq n_0 \) es \( |b_n|\leq \dfrac{\varepsilon}{M} \). Por tanto,  \( \forall\,n\geq n_0 \) es \( |a_nb_n|\leq M\cdot\dfrac{\varepsilon}{M}=\varepsilon \), es decir, \( \lim\limits_{n\to\infty}a_nb_n=0 \)
Saludos