[Berner]

¿Estará bien esta demostración?

Proposición. Dado un espacio normado $$(X,\|\cdot\|)$$ con base de Schaunder $$\operatorname{der}\left(x_n\right)_{n \in N }$$
si definimos $$\|x\|^*=\sup _{N \in N }\left\|\sum_{n=1}^N \alpha_n x_n\right\|$$, entonces $$\left(X,\|\cdot\|^*\right)$$ es un espacio de Banach $$y$$, en consecuencia, $$(X,\|\cdot\|)$$ también es de Banach.

En primer lugar, supongamos que tenemos un espacio normado $$X$$ con una base de Schauder $$\left(x_n\right)_{n\in \mathbb{N}}$$. Queremos mostrar que el espacio normado $$\left(X,\|\cdot\|^*\right)$$, donde $$\|x\|^* = \sup_{N\in \mathbb{N}}\left\|\sum_{n=1}^N \alpha_n x_n\right\|$$, es un espacio de Banach.

Para demostrar esto, debemos mostrar que toda sucesión de Cauchy en $$\left(X, \|\cdot\|^*\right)$$ converge a un punto en dicho espacio. Recuerda que una sucesión de Cauchy es una sucesión en la que las distancias entre sus términos se vuelven arbitrariamente pequeñas a medida que avanzamos en la sucesión.

Ahora, consideremos una sucesión de Cauchy $$\left(y_k\right)_{k\in \mathbb{N}}$$ en $$\left(X, \|\cdot\|^*\right)$$. Esto significa que para cualquier $$\varepsilon > 0$$, existe un entero $$K$$ tal que para cualquier $$m, n \geq K$$, se cumple que $$\left\|\sum_{j=1}^n \alpha_j y_j - \sum_{i=1}^m \alpha_i y_i\right\|^* < \varepsilon$$.

Dado que $$\left(y_k\right)_{k\in \mathbb{N}}$$ es una sucesión de Cauchy en $$\left(X, \|\cdot\|^*\right)$$, también es una sucesión de Cauchy en el espacio normado original $$\left(X, \|\cdot\|\right)$$. Esto implica que la sucesión $$\left(y_k\right)_{k\in \mathbb{N}}$$ converge a un punto $$y$$ en el espacio normado $$X$$.

Ahora, vamos a demostrar que $$\left(y_k\right)_{k\in \mathbb{N}}$$ también converge a $$y$$ en el espacio normado $$\left(X, \|\cdot\|^*\right)$$. Para hacer esto, primero fijemos $$\varepsilon > 0$$. Luego, podemos elegir un entero $$K$$ tal que para cualquier $$m, n \geq K$$, se cumple $$\left\|\sum_{j=1}^n \alpha_j y_j - \sum_{i=1}^m \alpha_i y_i\right\|^* < \frac{\varepsilon}{2}$$.

Dado que $$\left(y_k\right)_{k\in \mathbb{N}}$$ converge a $$y$$ en el espacio normado $$X$$, podemos elegir un entero $$N$$ tal que para cualquier $$k \geq N$$, se cumple $$\left\|y_k - y\right\| < \frac{\varepsilon}{2 \|x_1\|}$$.

Ahora, elijamos cualquier $$n \geq N$$. Luego, podemos escribir $$m = \max\{K, n\}$$ y observar lo siguiente:

\begin{align*}
\left\|\sum_{j=1}^n \alpha_j y_j - \sum_{i=1}^m \alpha_i y_i\right\|^* &= \left\|\sum_{j=1}^n \alpha_j y_j - \sum_{i=1}^n \alpha_i y_i + \sum_{i=n+1}^m \alpha_i y_i\right\|^* \\
&\leq \left\|\sum_{j=1}^n \alpha_j y_j - \sum_{i=1}^n \alpha_i y_i\right\|^* + \left\|\sum_{i=n+1}^m \alpha_i y_i\right\|^* \\
&< \frac{\varepsilon}{2} + \left\|\sum_{i=n+1}^m \alpha_i y_i\right\|^*.
\end{align*}

Dado que $$\left(y_k\right)_{k\in \mathbb{N}}$$ es una sucesión de Cauchy en $$\left(X, \|\cdot\|^*\right)$$, podemos elegir un entero $$M$$ tal que para cualquier $$k \geq M$$, se cumple $$\left\|\sum_{i=n+1}^m \alpha_i y_i\right\|^* < \frac{\varepsilon}{2}$$.

Ahora, elijamos cualquier $$k \geq \max\{N, M\}$$. Entonces, obtenemos:

\begin{align*}
\left\|\sum_{j=1}^n \alpha_j y_j - y\right\|^* &\leq \left\|\sum_{j=1}^n \alpha_j y_j - \sum_{i=1}^m \alpha_i y_i\right\|^* + \left\|\sum_{i=n+1}^m \alpha_i y_i\right\|^* + \left\|\sum_{i=m+1}^K \alpha_i y_i - y\right\|^* \\
&< \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} + \left\|\sum_{i=m+1}^K \alpha_i y_i - y\right\|^* \\
&\leq \varepsilon + \left\|\sum_{i=m+1}^K \alpha_i y_i - y\right\|^*.
\end{align*}

Dado que $$\left(y_k\right)_{k\in \mathbb{N}}$$ converge a $$y$$ en el espacio normado $$X$$, podemos elegir un entero $$P$$ tal que para cualquier $$k \geq P$$, se cumple $$\left\|\sum_{i=m+1}^K \alpha_i y_i - y\right\| < \frac{\varepsilon}{2}$$.

Ahora, elijamos cualquier $$k \geq \max\{N, M, P\}$$. Entonces, obtenemos:

\begin{align*}
\left\|\sum_{j=1}^n \alpha_j y_j - y\right\|^* &< \varepsilon + \left\|\sum_{i=m+1}^K \alpha_i y_i - y\right\|^* \\
&< \varepsilon + \frac{\varepsilon}{2} \\
&= \frac{3\varepsilon}{2}.
\end{align*}

Dado que $$\varepsilon$$ era arbitrario, esto demuestra que $$\left(y_k\right)_{k\in \mathbb{N}}$$ converge a $$y$$ en el espacio normado $$\left(X, \|\cdot\|^*\right)$$.

Hemos demostrado que toda sucesión de Cauchy en $$\left(X, \|\cdot\|^*\right)$$ converge a un punto en dicho espacio. Por lo tanto, podemos concluir que $$\left(X, \|\cdot\|^*\right)$$ es un espacio de Banach.

Además, como mostramos que $$\left(y_k\right)_{k\in \mathbb{N}}$$ también converge a $$y$$ en el espacio normado original $$\left(X, \|\cdot\|\right)$$, esto implica que $$\left(X, \|\cdot\|\right)$$ también es un espacio de Banach.

 Hemos demostrado que $$\left(X, \|\cdot\|^*\right)$$ es un espacio de Banach y que $$\left(X, \|\cdot\|\right)$$ también es un espacio

[Berner]

Hola tambien la inicie asi  si voy bien:


En la demostración, se quiere mostrar que para cualquier elemento $$y = \sum_{\text{NeN}} \beta_n x_n$$ en el espacio normado $$(X,\|\cdot\|^*)$$, su norma $$\|\beta_n x_n \|$$ es menor o igual que $$2\|y\|^*$$.

Para demostrar esto, se utiliza la desigualdad triangular. Primero, se reescribe $$\beta_n x_n$$ como la diferencia de dos sumas:

$$\beta_n x_n = \sum_{k=1}^n \beta_k x_k - \sum_{k=1}^{n-1} \beta_k x_k$$

Luego, se aplica la norma a ambos lados de la igualdad:

$$\|\beta_n x_n \| = \left\| \sum_{k=1}^n \beta_k x_k - \sum_{k=1}^{n-1} \beta_k x_k \right\|$$

Utilizando la desigualdad triangular de la norma, se tiene:

$$\|\beta_n x_n \| \leq \left\| \sum_{k=1}^n \beta_k x_k \right\| + \left\| \sum_{k=1}^{n-1} \beta_k x_k \right\|$$

A continuación, se puede observar que el primer término de la suma es igual a $$y$$, mientras que el segundo término es una suma parcial de elementos que componen $$y$$. Entonces, se puede reescribir como:

$$\|\beta_n x_n \| \leq \|y\| + \left\| \sum_{k=1}^{n-1} \beta_k x_k \right\|$$

Finalmente, se utiliza la definición de $$\|\cdot\|^*$$ para acotar la norma de la suma parcial en el segundo término:

$$\|\beta_n x_n \| \leq \|y\| + \sup_{N \in \mathbb{N}} \left\| \sum_{k=1}^N \beta_k x_k \right\| = \|y\| + \|y\|^*$$

Como resultado, se obtiene la desigualdad $$\|\beta_n x_n \| \leq 2\|y\|^*$$

[Berner]

Hola porfavor alguien podria decirme si esta parte esta bien

[Luis Fuentes]

Hola

¿Estará bien esta demostración?

Proposición. Dado un espacio normado $$(X,\|\cdot\|)$$ con base de Schaunder $$\operatorname{der}\left(x_n\right)_{n \in N }$$
si definimos $$\|x\|^*=\sup _{N \in N }\left\|\sum_{n=1}^N \alpha_n x_n\right\|$$, entonces $$\left(X,\|\cdot\|^*\right)$$ es un espacio de Banach $$y$$, en consecuencia, $$(X,\|\cdot\|)$$ también es de Banach.

En primer lugar, supongamos que tenemos un espacio normado $$X$$ con una base de Schauder $$\left(x_n\right)_{n\in \mathbb{N}}$$. Queremos mostrar que el espacio normado $$\left(X,\|\cdot\|^*\right)$$, donde $$\|x\|^* = \sup_{N\in \mathbb{N}}\left\|\sum_{n=1}^N \alpha_n x_n\right\|$$, es un espacio de Banach.

Para demostrar esto, debemos mostrar que toda sucesión de Cauchy en $$\left(X, \|\cdot\|^*\right)$$ converge a un punto en dicho espacio. Recuerda que una sucesión de Cauchy es una sucesión en la que las distancias entre sus términos se vuelven arbitrariamente pequeñas a medida que avanzamos en la sucesión.

Ahora, consideremos una sucesión de Cauchy $$\left(y_k\right)_{k\in \mathbb{N}}$$ en $$\left(X, \|\cdot\|^*\right)$$. Esto significa que para cualquier $$\varepsilon > 0$$, existe un entero $$K$$ tal que para cualquier $$m, n \geq K$$, se cumple que $$\left\|\sum_{j=1}^n \alpha_j y_j - \sum_{i=1}^m \alpha_i y_i\right\|^* < \varepsilon$$.

Está mal desde el principio la notación que usas. En primer lugar sería mejor escribir:

$$\|x\|^*=\sup _{N \in N }\left\|\sum_{n=1}^N \alpha_n(x) x_n\right\|$$

entendiendo que \( \alpha_n(x) \) son los únicos escalares que cumplen que:

\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}\alpha_n(x) x_n=x \)

Ahora cuando tomas la sucesión de Cauchy \( (y_k)_{k\in \Bbb N} \) lo que se cumple es que:

\( \|y_p-y_q\|^*<\epsilon \) para \( p,q\geq K \)

y eso lo que significa es que:

\( \displaystyle\sup _{N \in N }\left\|\sum_{n=1}^N \alpha_n((y_p-y_q)) x_n\right\|<\epsilon \)

Saludos.

[Berner]

Hola tambien la inicie asi  si voy bien:


En la demostración, se quiere mostrar que para cualquier elemento $$y = \sum_{\text{NeN}} \beta_n x_n$$ en el espacio normado $$(X,\|\cdot\|^*)$$, su norma $$\|\beta_n x_n \|$$ es menor o igual que $$2\|y\|^*$$.

Para demostrar esto, se utiliza la desigualdad triangular. Primero, se reescribe $$\beta_n x_n$$ como la diferencia de dos sumas:

$$\beta_n x_n = \sum_{k=1}^n \beta_k x_k - \sum_{k=1}^{n-1} \beta_k x_k$$

Luego, se aplica la norma a ambos lados de la igualdad:

$$\|\beta_n x_n \| = \left\| \sum_{k=1}^n \beta_k x_k - \sum_{k=1}^{n-1} \beta_k x_k \right\|$$

Utilizando la desigualdad triangular de la norma, se tiene:

$$\|\beta_n x_n \| \leq \left\| \sum_{k=1}^n \beta_k x_k \right\| + \left\| \sum_{k=1}^{n-1} \beta_k x_k \right\|$$

A continuación, se puede observar que el primer término de la suma es igual a $$y$$, mientras que el segundo término es una suma parcial de elementos que componen $$y$$. Entonces, se puede reescribir como:

$$\|\beta_n x_n \| \leq \|y\| + \left\| \sum_{k=1}^{n-1} \beta_k x_k \right\|$$

Finalmente, se utiliza la definición de $$\|\cdot\|^*$$ para acotar la norma de la suma parcial en el segundo término:

$$\|\beta_n x_n \| \leq \|y\| + \sup_{N \in \mathbb{N}} \left\| \sum_{k=1}^N \beta_k x_k \right\| = \|y\| + \|y\|^*$$

Como resultado, se obtiene la desigualdad $$\|\beta_n x_n \| \leq 2\|y\|^*$$

Entiendo gracias, esta parte esta bien planteada o esta mal.

[Luis Fuentes]

Hpla

En la demostración, se quiere mostrar que para cualquier elemento $$y = \sum_{\text{NeN}} \beta_n x_n$$ en el espacio normado $$(X,\|\cdot\|^*)$$, su norma $$\|\beta_n x_n \|$$ es menor o igual que $$2\|y\|^*$$.

Para demostrar esto, se utiliza la desigualdad triangular. Primero, se reescribe $$\beta_n x_n$$ como la diferencia de dos sumas:

$$\beta_n x_n = \sum_{k=1}^n \beta_k x_k - \sum_{k=1}^{n-1} \beta_k x_k$$

Luego, se aplica la norma a ambos lados de la igualdad:

$$\|\beta_n x_n \| = \left\| \sum_{k=1}^n \beta_k x_k - \sum_{k=1}^{n-1} \beta_k x_k \right\|$$

Utilizando la desigualdad triangular de la norma, se tiene:

$$\|\beta_n x_n \| \leq \left\| \sum_{k=1}^n \beta_k x_k \right\| + \left\| \sum_{k=1}^{n-1} \beta_k x_k \right\|$$

A continuación, se puede observar que el primer término de la suma es igual a $$y$$, mientras que el segundo término es una suma parcial de elementos que componen $$y$$. Entonces, se puede reescribir como:

$$\|\beta_n x_n \| \leq \|y\| + \left\| \sum_{k=1}^{n-1} \beta_k x_k \right\|$$

Finalmente, se utiliza la definición de $$\|\cdot\|^*$$ para acotar la norma de la suma parcial en el segundo término:

$$\|\beta_n x_n \| \leq \|y\| + \sup_{N \in \mathbb{N}} \left\| \sum_{k=1}^N \beta_k x_k \right\| = \|y\| + \|y\|^*$$

Como resultado, se obtiene la desigualdad $$\|\beta_n x_n \| \leq 2\|y\|^*$$

Entiendo gracias, esta parte esta bien planteada o esta mal.
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Esa parte está bien.

Saludos.