[Nub]

Hola, si \( b\in{Z^+} \) y \(  b^{320}\equiv{1}(3) \) entonces como \( b^2\equiv{1}(3) \) ¿Que propiedad se uso para llegar a eso? segun vi  \(  b^{320}\equiv{1}\equiv{(b^2)^{160}}\equiv{1}(3) \) y luego deducia que \( b^2\equiv{1}(3) \) ¿Como se llega a eso?

Gracias

[Carlos Ivorra]

En realidad es mucho más simple: la hipótesis implica que \( b\not\equiv 0\,(\mbox{mód}\,3) \) (pues si \( b \) fuera congruente con \( 0 \), lo mismo valdría para todas sus potencias). Pero entonces \( b\equiv \pm 1\,(\mbox{mód}\,3) \) (pues sólo hay tres restos módulo 3, y hemos descartado al 0), luego \( b^2\equiv 1\,(\mbox{mód}\,3) \).

[Nub]

En realidad es mucho más simple: la hipótesis implica que \( b\not\equiv 0\,(\mbox{mód}\,3) \) (pues si \( b \) fuera congruente con \( 0 \), lo mismo valdría para todas sus potencias). Pero entonces \( b\equiv \pm 1\,(\mbox{mód}\,3) \) (pues sólo hay tres restos módulo 3, y hemos descartado al 0), luego \( b^2\equiv 1\,(\mbox{mód}\,3) \).

Entiendo pero me parece raro, es básicamente descarte esto ocurre pues porque esa "propiedad" en general es falsa? se que \( a\equiv{b}(n)\Rightarrow{a^n\equiv{b^n}} \) pero el reciproco no siempre se cumple. Tambien intente hacer algo por definicion como \( b^2*b^{318}-1=3q \) pero no me puedo sacar de arriba el \( b^{318} \)

[Carlos Ivorra]

Entiendo pero me parece raro, es básicamente descarte esto ocurre pues porque esa "propiedad" en general es falsa? se que \( a\equiv{b}(n)\Rightarrow{a^n\equiv{b^n}} \) pero el reciproco no siempre se cumple. Tambien intente hacer algo por definicion como \( b^2*b{318}-1=3q \) pero no me puedo sacar de arriba el \( b^{318} \)

No acabo de entender lo que quieres decir. Se trata de algo tan elemental, que no se me ocurre qué demostración "general" podrías dar que no usara prácticamente desde el principio que \( b^2 \) no es cero módulo 3 y, si sabes eso, es que ya es inmediato.

[Nub]

Entiendo pero me parece raro, es básicamente descarte esto ocurre pues porque esa "propiedad" en general es falsa? se que \( a\equiv{b}(n)\Rightarrow{a^n\equiv{b^n}} \) pero el reciproco no siempre se cumple. Tambien intente hacer algo por definicion como \( b^2*b{318}-1=3q \) pero no me puedo sacar de arriba el \( b^{318} \)

No acabo de entender lo que quieres decir. Se trata de algo tan elemental, que no se me ocurre qué demostración "general" podrías dar que no usara prácticamente desde el principio que \( b^2 \) no es cero módulo 3 y, si sabes eso, es que ya es inmediato.

¿Al final no estaría usando esta propiedad \( a\equiv{1}(m)\Leftrightarrow{a^n\equiv{1^n}}(m) \) ? El directo es facil probarlo, pero el reciproco no se, cuando tu haces de descartar que no es cero modulo 3, es basicamente ver que se cumple y elevar ambos lados, no lo deducís de \( b^{320}\equiv{1} \), osea ves que \( b^2\equiv{1} \) y luego elevas ambos lados a la 160

[Carlos Ivorra]

¿Al final no estaría usando esta propiedad \( a\equiv{1}(m)\Leftrightarrow{a^n\equiv{1^n}}(m) \) ? El directo es facil probarlo, pero el reciproco no se, cuando tu haces de descartar que no es cero modulo 3, es basicamente ver que se cumple y elevar ambos lados, no lo deducís de \( b^{320}\equiv{1} \), osea ves que \( b^2\equiv{1} \) y luego elevas ambos lados a la 160

Me estoy perdiendo. Si he entendido bien lo que planteabas en el primer mensaje, tienes \( b^{360}\equiv 1\,(\mbox{mód}\,3) \) y quieres deducir que \( b^2\equiv 1\,(\mbox{mód}\,3) \) ¿es eso o te estoy entendiendo mal?

Si es eso, lo único que usas es que, si \( b^{360}\equiv 1\,(\mbox{mód}\,3) \), no puede ser \( b\equiv 0\,(\mbox{mód}\,3) \), porque en tal caso sería \( b^{360}\equiv 0^{360}\equiv 0\,(\mbox{mód}\,3) \).

Y si sabemos que \( b\not\equiv 0,\mbox{mód}\,3) \), sólo quedan las posibilidades \( b\equiv \pm 1\,(\mbox{mód}\,3) \). Y si sabemos esto, elevando al cuadrado queda \( b^2\equiv (-1)^2\equiv 1\,(\mbox{mód}\,3) \).

Sólo uso que \( a\equiv b\,(\mbox{mód}\,m)\rightarrow a^n\equiv b^n\,(\mbox{mód}\,m) \). Nunca he usado el recíproco, que no es cierto en general, ni tengo que elevar nada a 160.

[Nub]

¿Al final no estaría usando esta propiedad \( a\equiv{1}(m)\Leftrightarrow{a^n\equiv{1^n}}(m) \) ? El directo es facil probarlo, pero el reciproco no se, cuando tu haces de descartar que no es cero modulo 3, es basicamente ver que se cumple y elevar ambos lados, no lo deducís de \( b^{320}\equiv{1} \), osea ves que \( b^2\equiv{1} \) y luego elevas ambos lados a la 160

Me estoy perdiendo. Si he entendido bien lo que planteabas en el primer mensaje, tienes \( b^{360}\equiv 1\,(\mbox{mód}\,3) \) y quieres deducir que \( b^2\equiv 1\,(\mbox{mód}\,3) \) ¿es eso o te estoy entendiendo mal?

Si

A ver capaz lo que digo es cualquiera (o literalmente lo que dices) Si  \( b^{360}\equiv 1\,(\mbox{mód}\,3) \) luego  \( b\equiv r\,(\mbox{mód}\,3) \) con \( r\in{\left\{{0,1,2}\right\}} \) Si  \( b\equiv 0\,(\mbox{mód}\,3) \) luego  \( b^{360}\equiv 0^{360}\,(\mbox{mód}\,3) \) absurdo (el resto es unico) , Si \( b\equiv 2\,(\mbox{mód}\,3) \) luego \( b^{360}\equiv 2^{360}\,(\mbox{mód}\,3) \) absurdo, Si \( b\equiv 1\,(\mbox{mód}\,3) \) luego  \( b^{360}\equiv 1^{360}\,(\mbox{mód}\,3) \) entonces \( b\equiv{1}(3) \) luego \( b^2\equiv{1}(3) \)

[Carlos Ivorra]

A ver capaz lo que digo es cualquiera (o literalmente lo que dices) Si  \( b^{360}\equiv 1\,(\mbox{mód}\,3) \) luego  \( b\equiv r\,(\mbox{mód}\,3) \) con \( r\in{\left\{{0,1,2}\right\}} \) Si  \( b\equiv 0\,(\mbox{mód}\,3) \) luego  \( b^{360}\equiv 0^{360}\,(\mbox{mód}\,3) \) absurdo (el resto es unico) ,

Hasta ahí bien.

Si \( b\equiv 2\,(\mbox{mód}\,3) \) luego \( b^{360}\equiv 2^{360}\,(\mbox{mód}\,3) \) absurdo,

No, no. Este caso no puedes descartarlo, no hay nada absurdo ahí. Se cumple que \( b^{360}\equiv 2^{360}\equiv 1\,(\mbox{mód}\,3) \).

El caso \( b\equiv 2\,(\mbox{mód}\,3) \) es el mismo que \( b\equiv -1\,(\mbox{mód}\,3) \) que yo he considerado, porque es más cómodo así. Todo entero es congruente módulo 3 con \( -1, 0, 1 \), y aquí podemos descartar el caso del 0, pero nada más. La conclusión es que \( b\equiv \pm 1\,(\mbox{mód}\,3) \) o, si lo prefieres (aunque es más incómodo), tenemos que

\( b\equiv 1\,(\mbox{mód}\,3) \)    o    \( b\equiv -1\,(\mbox{mód}\,3) \)

los dos casos son posibles.

Si \( b\equiv 1\,(\mbox{mód}\,3) \) luego  \( b^{360}\equiv 1^{360}\,(\mbox{mód}\,3) \) entonces \( b\equiv{1}(3) \) luego \( b^2\equiv{1}(3) \)

Nada de eso. Cuando tienes que \( b\equiv \pm 1\,(\mbox{mód}\,3) \), elevas esto a 2, no a 360. Y al elevar aquí a 2, te queda \( b^2\equiv (\pm 1)^2\equiv 1\,(\mbox{mód}\,3) \)  y ya lo tienes. Una vez has descartado el 0, ya no necesitas la hipótesis para nada. Si prefieres usar el 2 en vez del -1 sería:

\( b^2\equiv 1^2 \equiv 1\,(\mbox{mód}\,3) \)    o    \( b^2\equiv 2^2\equiv 4\equiv 1\,(\mbox{mód}\,3) \)

que es más largo. Con el -1 es más directo.

[Nub]

A ver capaz lo que digo es cualquiera (o literalmente lo que dices) Si  \( b^{360}\equiv 1\,(\mbox{mód}\,3) \) luego  \( b\equiv r\,(\mbox{mód}\,3) \) con \( r\in{\left\{{0,1,2}\right\}} \) Si  \( b\equiv 0\,(\mbox{mód}\,3) \) luego  \( b^{360}\equiv 0^{360}\,(\mbox{mód}\,3) \) absurdo (el resto es unico) ,

Hasta ahí bien.

Si \( b\equiv 2\,(\mbox{mód}\,3) \) luego \( b^{360}\equiv 2^{360}\,(\mbox{mód}\,3) \) absurdo,

No, no. Este caso no puedes descartarlo, no hay nada absurdo ahí. Se cumple que \( b^{360}\equiv 2^{360}\equiv 1\,(\mbox{mód}\,3) \).

El caso \( b\equiv 2\,(\mbox{mód}\,3) \) es el mismo que \( b\equiv -1\,(\mbox{mód}\,3) \) que yo he considerado, porque es más cómodo así. Todo entero es congruente módulo 3 con \( -1, 0, 1 \), y aquí podemos descartar el caso del 0, pero nada más. La conclusión es que \( b\equiv \pm 1\,(\mbox{mód}\,3) \) o, si lo prefieres (aunque es más incómodo), tenemos que

\( b\equiv 1\,(\mbox{mód}\,3) \)    o    \( b\equiv -1\,(\mbox{mód}\,3) \)

los dos casos son posibles.

Si \( b\equiv 1\,(\mbox{mód}\,3) \) luego  \( b^{360}\equiv 1^{360}\,(\mbox{mód}\,3) \) entonces \( b\equiv{1}(3) \) luego \( b^2\equiv{1}(3) \)

Nada de eso. Cuando tienes que \( b\equiv \pm 1\,(\mbox{mód}\,3) \), elevas esto a 2, no a 360. Y al elevar aquí a 2, te queda \( b^2\equiv (\pm 1)^2\equiv 1\,(\mbox{mód}\,3) \)  y ya lo tienes. Una vez has descartado el 0, ya no necesitas la hipótesis para nada. Si prefieres usar el 2 en vez del -1 sería:

\( b^2\equiv 1^2 \equiv 1\,(\mbox{mód}\,3) \)    o    \( b^2\equiv 2^2\equiv 4\equiv 1\,(\mbox{mód}\,3) \)

que es más largo. Con el -1 es más directo.

Entiendo, gracias Carlos