[Franciscooz]

Una partícula de \( 0.5kg \) se lanza desde \( P \) con una velocidad inicial \( \vec v \) que tiene una componente horizontal de \( 30.0m/s \). La partícula asciende hasta una altura máxima de \( 20.0m \) sobre \( P \).

 (a) Determina el valor inicial de la componente vertical de \( \vec v \).
 (b) Determina el cambio en la energía potencial gravitatoria y en la energía cinética cuando la partícula se mueve de \( x=2.0m \) a \( x=3.0m \).



Buenas no pude sacar la parte b), la parte a) si, me quedó que la componente vertical de la velocidad es 19,81 m/s. Si pueden ayudarme con la b les agradezco.
Mensaje corregido desde la administración.

Recuerda que debes de de copiar el texto de los problemas o preguntas en el mensaje y reservar el uso de imágenes para gráficos ilustrativos.

[JCB]

Hola a tod@s.

b) Para cada posición en x, puedes hallar:

- el tiempo, \( t=\dfrac{x}{v_x} \)

- la componente vertical de la velocidad, \( v_y=v_{0y}-gt \)

- la posición en altura, \( y=y_0+v_{0y}t-\dfrac{1}{2}gt^2 \). Como la referencia \( 0 \) de la energía potencial gravitatoria es arbitraria, podrías prescindir de \( y_0 \).

- la velocidad total, \( v=\sqrt{v_x^2+v_y^2} \)

- la energía cinética, \( E_c=\dfrac{1}{2}mv^2 \)

- la energía potencial gravitatoria, \( E_{pg}=mgy \)

Lo que aumenta la energía potencial gravitatoria \( (3,1\ J) \), es lo que disminuye la energía cinética, ya que la energía mecánica se conserva.

Saludos cordiales,
JCB.

[ani_pascual]

Una partícula de \( 0.5kg \) se lanza desde \( P \) con una velocidad inicial \( \vec v \) que tiene una componente horizontal de \( 30.0m/s \). La partícula asciende hasta una altura máxima de \( 20.0m \) sobre \( P \).

 (a) Determina el valor inicial de la componente vertical de \( \vec v \).
 (b) Determina el cambio en la energía potencial gravitatoria y en la energía cinética cuando la partícula se mueve de \( x=2.0m \) a \( x=3.0m \).



Buenas no pude sacar la parte b), la parte a) si, me quedó que la componente vertical de la velocidad es 19,81 m/s. Si pueden ayudarme con la b les agradezco.
Mensaje corregido desde la administración.

Recuerda que debes de de copiar el texto de los problemas o preguntas en el mensaje y reservar el uso de imágenes para gráficos ilustrativos.

Hola;
Me parece que la clave está en hallar la componente vertical de la velocidad inicial, \( v_{0y} \)
Para eso, te sugiero que resuelvas el sistema
\( \left\{\begin{array}{l} 80=60+v_{0y}t-\dfrac{1}{2} gt^2\\0=v_{0y}-gt  \end{array}\right. \)
ya que en el punto donde alcanza la altura máxima la componente vertical de la velocidad es nula.
Así puedes calcular la variación de la energía cinética entre los puntos indicados; usando
 \( 2=30t \) hallas \( v_y=v_{0y}-gt \) y como \( v_x \) es constante se tiene que la energía cinética en \( x=2 \) es
\( E_c^i=\dfrac{1}{2}m(30^2+v_y^2) \)
Haces lo mismo con \( x=3 \) para hallar \( E_c^f \) y luego  calculas la diferencia \( \Delta E_c=E_c^f-E_c^i \)
En cuanto a la variación de la energía potencial gravitatoria es fácil: \( \Delta E_p=mg(80-60)=20mg \,(J) \)
Saludos
PD:Como bien dice JCB, tiene que salir \( \Delta E_p=-\Delta Ec \)
Lo que está en rojo sobra, pues no es la variación de energía potencial gravitatoria entre \( x=2 \) y \( x=3 \) sino entre el instante inicial y aquel en que alcanza la altura máxima.

[JCB]

... / ...
Me parece que la clave está en hallar la componente vertical de la velocidad inicial \( v_{0y} \)
Para eso, te sugiero que resuelvas el sistema
... / ...

Hola a tod@s.

ani_pascual: como escribe Franciscooz, este apartado (a), ya lo resolvió él mismo.

Saludos cordiales,
JCB.

[ani_pascual]

Hola a tod@s.

ani_pascual: como escribe Franciscooz, este apartado (a), ya lo resolvió él mismo.

Saludos cordiales,
JCB.

Hola:
Sí, es cierto. se me pasó. Saludos

[Franciscooz]

Hola, muchas gracias a todos quedó clarísimo. Saludos!

[Richard R Richard]

Hola, resuelto el problema, me propongo a presentar una  demostración de la conservación de la energía mecánica  \( \Delta E_m=0=\Delta E_c-\Delta E_p\quad \leftrightarrows\quad -\Delta E_c=\Delta E_p \) partiendo de las ecuaciones de la cinemática.

En un tiro oblicuo la velocidad horizontal es constante lo que nos permite escribir $$x=v_{x0}t\quad \leftrightarrows\quad t=\dfrac{x}{v_{x0}}$$

la velocidad vertical solo es afectada por la aceleración de la gravedad entonces , si $$v_{y0}$$ es la velocidad vertical de lanzamiento hallada en a)

$$v_y=v_{y0}-gt=v_{y0}-g\dfrac{x}{v_{x0}}$$

y la altura en función de la posición horizontal

$$h=h_0+v_{y0}t-\dfrac12gt^2=h_0+\dfrac{v_{y0}}{v_{x0}}x-\dfrac12g\dfrac{x^2}{v_{x0}^2}$$

de donde se ve que la trayectoria es una parábola

la definición de energía cinética $$E_c = \dfrac12mv^2=\dfrac12m(v_x^2+v_y^2)$$

escribamos ahora su variación entre las coordenadas $$x_i=2$$ ,$$x_f=3$$ con $$\Delta x=x_f-x_i=1$$

$$\Delta E_c= E_{cf}-E_{ci}=\dfrac12m(v_{x0}^2+(v_{y0}-g\dfrac{x_f}{v_{x0}})^2)-\dfrac12m(v_{x0}^2+(v_{y0}-g\dfrac{x_i}{v_{x0}})^2)$$

$$\Delta E_c= \dfrac12m(v_{y0}-g\dfrac{x_f}{v_{x0}})^2-(v_{y0}-g\dfrac{x_i}{v_{x0}})^2)$$

$$\Delta E_c= \dfrac12m(v_{y0}^2-2v_{y0}g\dfrac{x_f}{v_{x0}}+g^2\dfrac{x_f^2}{v_{x0}^2}-v_{y0}^2+2v_{y0}g\dfrac{x_i}{v_{x0}}-g^2\dfrac{x_i^2}{v_{x0}^2})$$

$$\Delta E_c= \dfrac12m(-2v_{y0}g\dfrac{x_f}{v_{x0}}+g^2\dfrac{x_f^2}{v_{x0}^2}+2v_{y0}g\dfrac{x_i}{v_{x0}}-g^2\dfrac{x_i^2}{v_{x0}^2})$$

$$\boxed{\Delta E_c= -mg\dfrac{v_{y0}}{v_{x0}}\Delta x+mg^2\dfrac{x_f^2-x_i^2}{2v_{x0}^2}}$$ Ec1


la definición de energía potencial $$E_p=mg h$$

la variación de la energía potencial en función de la posición

$$\Delta E_p= E_{pf}-E_{pi}=mg(h_0+\dfrac{v_{y0}}{v_{x0}}x_f-\dfrac12g\dfrac{x_f^2}{v_{x0}^2})-mg(h_0+\dfrac{v_{y0}}{v_{x0}}x_i-\dfrac12g\dfrac{x_i^2}{v_{x0}^2})$$


$$\Delta E_p= mg\dfrac{v_{y0}}{v_{x0}}-\dfrac12g\dfrac{x_f^2}{v_{x0}^2}-\dfrac{v_{y0}}{v_{x0}}x_i+\dfrac12g\dfrac{x_i^2}{v_{x0}^2}$$

$$\boxed{\Delta E_p= mg\dfrac{v_{y0}}{v_{x0}}\Delta x-mg^2\dfrac{x_f^2-x_i^2}{2v_{x0}^2}}$$ Ec2

comparando los resultados de la Ec1 con los de la Ec2 tenemos que

\( \Delta E_c=-\Delta E_p \) cqd... lo que lleva a demostrar la conservación de la energía mecánica


Saludos