[pirilonjazo]

Hola. Me dan una ayuda con los siguientes problemas.
el primero dice así

1. Una urna contiene 8 bolitas blancas  y 12 negras. Se extraen las bolitas una a una con reposición. Sea \( N_r \) el número de extracciones necesarias y suficientes para obtener r bolitas blancas. Para cada \( r\in\mathbb{N} \) determine la función de cuantía \( N_r \).

2. Juan tiene $2000 y Pedro tiene $1000, juegan de $1000 hasta que uno se queda con los $3000. ¿Cuál es la función de cuantía del número de pruebas necesarias para terminar el juego? ¿Cuál es la función de cuantía del número de pruebas  necesarias para terminar el juego suponiendo que Pedro gana?

Cualquier ayuda es valida.

Saludos!

[Luis Fuentes]

Hola

1) Para obtener \( r \) bolitas blancas en exactamente \( n \) extracciones, con \( n\geq r \), la última bola ha de ser blanca. Las \( r-1 \) restantes pueden haber salido en \( \displaystyle\binom{n-1}{r-1} \) posiciones distinas.

 Para cada una de estas posiciones la probabilidad de sacar \( r \) blancas y \( n-r \) negras es:

\( \left(\dfrac{8}{20}\right)^r\left(\dfrac{12}{20}\right)^{n-r} \)

 Por tanto la función de cuantía pedida es:

\(  P(N_r=n)=\displaystyle\binom{n-1}{r-1}\left(\dfrac{8}{20}\right)^r\left(\dfrac{12}{20}\right)^{n-r} \) para \( n\geq r \)

 Este tipo de distribución se conoce a veces como Binomial negativa.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 2) Si la primera la gana Juan se acabó. Además quien gané dos partidas seguidas, se lleva todo el dinero.

 Así que si llamamos J a una apuesta ganada por Juan y P a una ganada por Pedro. Las posibilidades para terminar en \( n \) partidas son:

n=1 J
n=2 PP
n=3 PJJ
n=4 PJPP
n=5 PJPJJ
...

Vemos que en cada caso sólo hay una combinación posible para terminar. Entonces si suponemos que las probabilidades de ganar uno u otro cada apuesta son iguales, la función de cuantía es:

\( P(X=n)=\displaystyle\frac{1}{2^n} \)

Ahora si suponemos que pedro gana (suceso GP) tenemos:

\( P(X|_{GP}=n)=\dfrac{P(X=n\cap GP)}{P(GP)} \)

Pedro gana en las pares. Por tanto:

\( P(GP)=\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{}\dfrac{1}{2^{2i}} \)

y así:

\( P(X|_{GP}=n)=\dfrac{P(X=n)}{P(GP)} \) para \( n \) par.

Termina las cuentas...

Saludos.