[JohnC++]

Hola que tal, consideremos \(  \{x_n\} \) una sucesión de números reales, y una función de conjuntos, definida como:

\(  \mu = \displaystyle\sum_{i=1}^{\infty} \delta_{x_n} \)

. Pruebe que \( \mu \) es una medida que asigna valores finitos a los subintervalos acotados si, y sólo sí, \( \displaystyle\lim_{x \to{}\infty}{} \left |{x_n}\right | = \infty \)

[Masacroso]

Hola que tal, consideremos \(  \{x_n\} \) una sucesión de números reales, y una función de conjuntos, definida como:

\(  \mu = \displaystyle\sum_{i=1}^{\infty} \delta_{x_n} \)

. Pruebe que \( \mu \) es una medida que asigna valores finitos a los subintervalos acotados si, y sólo sí, \( \displaystyle\lim_{x \to{}\infty}{} \left |{x_n}\right | = \infty \)

Pista (casi solución diría, pero bueno): la condición en la sucesión es equivalente a decir que \( A:=\{x_n\in \mathbb{R}: n\in \mathbb{N}\} \) carece de puntos límites. De ahí se sigue que todo conjunto compacto \( C \) cumple que \( C\cap A \) es finito. Por otra parte si \( A \) tiene algún punto límite, entonces existe un conjunto compacto \( C \) tal que \( C\cap A \) es infinito.