[Nub]

Hola.
1)  Demostrar que \( x^2-1\equiv{0},(7) \) tiene dos soluciones diferentes

Primero que nada, no vi nada sobre ecuaciones de congruencias no lineales, así que supongo que habrá que transformara a lineal de alguna forma, otra aclaración es que no puedo usar el teorema chino del resto (por ahora, igual no se si sirve para algo ahora). Y otra cosa, me basta con hallar la solución después intentare demostrarlo, pues ni la solución de esto se calcular

PD: Igual tanteando con numeros de 0 a 6 podemos ver que 1y 6 son solucion

[Julio_fmat]

Hola Nub.

Se tiene que \( x^2-1\equiv 0\pmod 7 \), luego, como \( 7 \) es primo, tienes que \( x-1\equiv 0\pmod 7 \) ó \( x+1\equiv 0\pmod 7. \) Luego, \( x\equiv 1\pmod 7 \) ó \( x\equiv -1\pmod 7. \)

Saludos.

[feriva]

También puedes ver que eso es suma por diferencia \( (x+1)(x-1) \); entonces:

\( x=7k+1 \)

\( x=7k-1\equiv7k+6 \).

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Se tiene que \( x^2-1\equiv 0\pmod 7 \), luego, como \( 7 \) es primo, tienes que \( x-1\equiv 0\pmod 7 \) ó \( x+1\equiv 0\pmod 7. \) Luego, \( x\equiv 1\pmod 7 \) ó \( x\equiv -1\pmod 7. \)

Esto es correcto. Y hay que resaltar que como bien indicas, es clave que \( 7 \) sea primo.

En general si trabajando módulo \( m \) tenemos \( ab\equiv 0 \) significa que:

\( ab=km \)

si \( m \) es primo, necesariamente \( m \) divide a \( a \) ó a \( b \) y por tanto \( a\equiv 0 \) ó \( b\equiv 0 \).

Si \( m \) fuese compuesto no tendría porque ser así. Por ejemplo:

\( 2\cdot 3=6\equiv 0 \) mod \( 6 \)

pero sin embargo \( 2\not\equiv 6 \) mod \( 6 \) y \( 3\not\equiv 6 \) mod \( 6 \).

PD: Igual tanteando con numeros de 0 a 6 podemos ver que 0 y 6 son solucion

Cuando uno trabaja módulo \( m \) (para un valor concreto) es totalmente lícito resolver una ecuación por simple inspección, probando todas las posibilidades. Si uno necesita resolver esa ecuación como aplicación de las matemáticas, problema resuelto. En el ámbito académico dependerá del contexto y del profesor que te lo permitan resolver así o no.

Saludos.

[Nub]

Hola Nub.

Se tiene que \( x^2-1\equiv 0\pmod 7 \), luego, como \( 7 \) es primo, tienes que \( x-1\equiv 0\pmod 7 \) ó \( x+1\equiv 0\pmod 7. \) Luego, \( x\equiv 1\pmod 7 \) ó \( x\equiv -1\pmod 7. \)

Saludos.

Gracias Julio

También puedes ver que eso es suma por diferencia \( (x+1)(x-1) \)

Si, no lo habia visto, gracias feriva

Hola

Se tiene que \( x^2-1\equiv 0\pmod 7 \), luego, como \( 7 \) es primo, tienes que \( x-1\equiv 0\pmod 7 \) ó \( x+1\equiv 0\pmod 7. \) Luego, \( x\equiv 1\pmod 7 \) ó \( x\equiv -1\pmod 7. \)

Esto es correcto. Y hay que resaltar que como bien indicas, es clave que \( 7 \) sea primo.

En general si trabajando módulo \( m \) tenemos \( ab\equiv 0 \) significa que:

\( ab=km \)

si \( m \) es primo, necesariamente \( m \) divide a \( a \) ó a \( b \) y por tanto \( a\equiv 0 \) ó \( b\equiv 0 \).

Si \( m \) fuese compuesto no tendría porque ser así. Por ejemplo:

\( 2\cdot 3=6\equiv 0 \) mod \( 6 \)

pero sin embargo \( 2\not\equiv 6 \) mod \( 6 \) y \( 3\not\equiv 6 \) mod \( 6 \).

PD: Igual tanteando con numeros de 0 a 6 podemos ver que 0 y 6 son solucion

Cuando uno trabaja módulo \( m \) (para un valor concreto) es totalmente lícito resolver una ecuación por simple inspección, probando todas las posibilidades. Si uno necesita resolver esa ecuación como aplicación de las matemáticas, problema resuelto. En el ámbito académico dependerá del contexto y del profesor que te lo permitan resolver así o no.

Saludos.

Igual me equivoque, era 1 no 0 la solucion gracias Luis