[Nub]

Hola, probar \( 10^a\equiv{(-1)}^a,mod(11) \) \( \forall{a\in{\mathbb{N}}} \) no se, lo pensé y es demasiado fácil (si no me estoy equivocando ) tenemos que \( 10\equiv{-1},mod(11) \) pues por definicion \( 11=11k \), \( k=1 \) y luego elevamos ambos lados y listo ¿Donde esta la gracia del ejercicio? probar por inducción? o sin usar la propiedad?

Gracias

[feriva]

Hola, probar \( 10^a\equiv{(-1)}^a,mod(11) \) \( \forall{a\in{\mathbb{N}}} \) no se, lo pensé y es demasiado fácil (si no me estoy equivocando ) tenemos que \( 10\equiv{-1},mod(11) \) pues por definicion \( 11=11k \), \( k=1 \) y luego elevamos ambos lados y listo ¿Donde esta la gracia del ejercicio? probar por inducción? o sin usar la propiedad?

Gracias

La gracia está en que la potencia cambia el signo del resto, pero no el de 10 elevado a "a"; -1 no es resto 1, es resto -1+11=10.

Buenas noches.

[Nub]

Hola, probar \( 10^a\equiv{(-1)}^a,mod(11) \) \( \forall{a\in{\mathbb{N}}} \) no se, lo pensé y es demasiado fácil (si no me estoy equivocando ) tenemos que \( 10\equiv{-1},mod(11) \) pues por definicion \( 11=11k \), \( k=1 \) y luego elevamos ambos lados y listo ¿Donde esta la gracia del ejercicio? probar por inducción? o sin usar la propiedad?

Gracias

La gracia está en que la potencia cambia el signo del resto, pero no el de 10 elevado a "a"; -1 no es resto 1, es resto -1+11=10.

Buenas noches.

Igual la demostración esta bien no  ?

[feriva]

Hola, probar \( 10^a\equiv{(-1)}^a,mod(11) \) \( \forall{a\in{\mathbb{N}}} \) no se, lo pensé y es demasiado fácil (si no me estoy equivocando ) tenemos que \( 10\equiv{-1},mod(11) \) pues por definicion \( 11=11k \), \( k=1 \) y luego elevamos ambos lados y listo ¿Donde esta la gracia del ejercicio? probar por inducción? o sin usar la propiedad?

Gracias

La gracia está en que la potencia cambia el signo del resto, pero no el de 10 elevado a "a"; -1 no es resto 1, es resto -1+11=10.

Buenas noches.

Igual la demostración esta bien no  ?

Pues no lo sé porque no sé qué quieres decir con eso.
Expresándolo así

\( (11-1)^{a}\equiv(-1)^{a} \) (mod 11)

Al elevar a una potencia par el paréntesis y desarrollar (viéndolo por el binomio de Newton o por la distributiva) tendremos una suma de múltiplos de 11 más (-1) elevado a par, que sería resto 1. Igualmente pasaría en el otro lado con -1 elevado a par. Si la potencia es impar la equivalencia, análogamente, también es cierta.

Saludos.



\( (11-1)^{a}\equiv(-1)^{a} \)

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, probar \( 10^a\equiv{(-1)}^a,mod(11) \) \( \forall{a\in{\mathbb{N}}} \) no se, lo pensé y es demasiado fácil (si no me estoy equivocando ) tenemos que \( 10\equiv{-1},mod(11) \) pues por definicion \( 11=11k \), \( k=1 \) y luego elevamos ambos lados y listo ¿Donde esta la gracia del ejercicio? probar por inducción? o sin usar la propiedad?

Está bien, entendiendo que ya te han demostrado la propiedad de las congruencias:

\( x\equiv y\quad mod\quad m\quad \Rightarrow{}\quad x^n\equiv y^n\quad mod\quad m \)

La gracia está en que la potencia cambia el signo del resto, pero no el de 10 elevado a "a"; -1 no es resto 1, es resto -1+11=10. .

No se que has querido decir con eso. No se relevancia le das al signo.

Saludos.

[feriva]

La gracia está en que la potencia cambia el signo del resto, pero no el de 10 elevado a "a"; -1 no es resto 1, es resto -1+11=10. .

No se que has querido decir con eso. No se relevancia le das al signo.

Saludos.

Nada, es anecdótico, simplemente era hacer ver que, aunque la equivalencia siempre es cierta, según la paridad de la potencia o bien se tiene \( 1\equiv1 \) o bien \( 10\equiv10 \). Lo detallé porque anoche no terminaba de ver si con lo que argumentaba quedaba clara la demostración.

*(Nub, con esto no pienses que estaba menospreciando tu inteligencia, al revés, es que como yo soy bastante tonto tengo que explicarme las cosas a mí mismo para estar más seguro).

Muchas gracias, Luis.

[Luis Fuentes]

Hola

Nada, es anecdótico, simplemente era hacer ver que, aunque la equivalencia siempre es cierta, según la paridad de la potencia o bien se tiene \( 1\equiv1 \) o bien \( 10\equiv10 \). Lo detallé porque anoche no terminaba de ver si con lo que argumentaba quedaba clara la demostración.

Supongo que has querido decir que:

\( 10^n\equiv 1 \) mod \( 11 \) si \( n \) par
\( 10^n\equiv 10 \) mod \( 11 \) si \( n \) impar

Saludos.

[feriva]

Hola

Nada, es anecdótico, simplemente era hacer ver que, aunque la equivalencia siempre es cierta, según la paridad de la potencia o bien se tiene \( 1\equiv1 \) o bien \( 10\equiv10 \). Lo detallé porque anoche no terminaba de ver si con lo que argumentaba quedaba clara la demostración.

Supongo que has querido decir que:

\( 10^n\equiv 1 \) mod \( 11 \) si \( n \) par
\( 10^n\equiv 10 \) mod \( 11 \) si \( n \) impar

Saludos.

Sí, lo he dejado sobreentendido.

Gracias, Luis.

[Nub]

La gracia está en que la potencia cambia el signo del resto, pero no el de 10 elevado a "a"; -1 no es resto 1, es resto -1+11=10. .

No se que has querido decir con eso. No se relevancia le das al signo.

Saludos.

Nada, es anecdótico, simplemente era hacer ver que, aunque la equivalencia siempre es cierta, según la paridad de la potencia o bien se tiene \( 1\equiv1 \) o bien \( 10\equiv10 \). Lo detallé porque anoche no terminaba de ver si con lo que argumentaba quedaba clara la demostración.

*(Nub, con esto no pienses que estaba menospreciando tu inteligencia, al revés, es que como yo soy bastante tonto tengo que explicarme las cosas a mí mismo para estar más seguro).

Muchas gracias, Luis.

Probablemente hice la demostración sin detalle pero era usando la propiedad esa, que Luis la hizo en una linea por eso me parecía rara, era demasiado fácil (teniendo demostrada esa propiedad anteriormente)

Gracias a los dos