[Nub]

Hola, para hallar la solucion de una ecuacion de congruencia es equivalente hallando la solucion de una ecuacion diofantica, mi pregunta es como ver las "soluciones modulo", ejemplo
\( 4x\equiv{2},mod(6) \) si encontramos la solución de la ec diofántica, \( (x,y)=(2+3k,1+2k)  \) \( k\in{\mathbb{Z}} \) y esto no me da la solución en modulo 6, por ejemplo las dos soluciones que hay son \( x\equiv{2},x'\equiv{5},mod(6) \) y podemos ver que son solución de la ecuación, pero son no congruentes entre si, por lo tanto distintas, osea son de la forma \( x=2+6k \) y \( x'=5+6k \) y no es lo que me la solución de la diofántica. Osea no podria decir \( x\equiv{2+3k},mod(6) \)

Gracias

[feriva]

Hola, para hallar la solucion de una ecuacion de congruencia es equivalente hallando la solucion de una ecuacion diofantica, mi pregunta es como ver las "soluciones modulo", ejemplo
\( 4x\equiv{2},mod(6) \) si encontramos la solución de la ec diofántica, \( (x,y)=(2+3k,1+2k)  \) \( k\in{\mathbb{Z}} \) y esto no me da la solución en modulo 6, por ejemplo las dos soluciones que hay son \( x\equiv{2},x'\equiv{5},mod(6) \) y podemos ver que son solución de la ecuación, pero son no congruentes entre si, por lo tanto distintas, osea son de la forma \( x=2+6k \) y \( x'=5+6k \) y no es lo que me la solución de la diofántica. Osea no podria decir \( x\equiv{2+3k},mod(6) \)

Gracias

Es que se hace así:

Esa congruencia la traduces por

\( 4x-2=6y \)

y despejas de esta forma:

\( 4x+6y=2 \) *(entiende que la “y” cambia de signo al despejar; es más cómodo y, como son letras, pues para encontrar las soluciones da igual).

Y, ahora, pues hay un método para resolverla que se llama algortimo extendido de euclides y en el cual se halla una solución particular, pero ésta es muy fácil, y se ve a primera vista que una solución es x=2, y=-1

Las soluciones generales vienen dadas por estas ecuaciones (que se pueden demostrar)

\( x=x_{0}+k\dfrac{b}{MCD(a,b)} \)

\( y=y_{0}-k\dfrac{a}{MCD(a,b)} \).

Donde x,y sub cero son los valores de la solución particular; “a" el coeficiente de “x” y “b” el de “y”.

En este caso

\( x=2+\dfrac{6}{2}k \)

\( y=-1-\dfrac{4}{2}k \).

O sea \( x=3k+2 \), \( y=-1-2k \),.

Por ejemplo, con k=3: x=11, y=-7.

Sustituyendo aquí \( 4x+6y=2 \) vemos que funciona

\( 4*11-6*7=44-42=2 \).

Saludos.

[Nub]

Hola, para hallar la solucion de una ecuacion de congruencia es equivalente hallando la solucion de una ecuacion diofantica, mi pregunta es como ver las "soluciones modulo", ejemplo
\( 4x\equiv{2},mod(6) \) si encontramos la solución de la ec diofántica, \( (x,y)=(2+3k,1+2k)  \) \( k\in{\mathbb{Z}} \) y esto no me da la solución en modulo 6, por ejemplo las dos soluciones que hay son \( x\equiv{2},x'\equiv{5},mod(6) \) y podemos ver que son solución de la ecuación, pero son no congruentes entre si, por lo tanto distintas, osea son de la forma \( x=2+6k \) y \( x'=5+6k \) y no es lo que me la solución de la diofántica. Osea no podria decir \( x\equiv{2+3k},mod(6) \)

Gracias

Es que se hace así:

Esa congruencia la traduces por

\( 4x-2=6y \)

y despejas de esta forma:

\( 4x+6y=2 \) *(entiende que la “y” cambia de signo al despejar; es más cómodo y, como son letras, pues para encontrar las soluciones da igual).

Y, ahora, pues hay un método para resolverla que se llama algortimo extendido de euclides y en el cual se halla una solución particular, pero ésta es muy fácil, y se ve a primera vista que una solución es x=2, y=-1

Las soluciones generales vienen dadas por estas ecuaciones (que se pueden demostrar)

\( x=x_{0}+k\dfrac{b}{MCD(a,b)} \)

\( y=y_{0}-k\dfrac{a}{MCD(a,b)} \).

Donde x,y sub cero son los valores de la solución particular; “a" el coeficiente de “x” y “b” el de “y”.

En este caso

\( x=2+\dfrac{6}{2}k \)

\( y=-1-\dfrac{4}{2}k \).

O sea \( x=3k+2 \), \( y=-1-2k \),.

Por ejemplo, con k=3: x=11, y=-7.

Sustituyendo aquí \( 4x+6y=2 \) vemos que funciona

\( 4*11-6*7=44-42=2 \).

Saludos.

Eso ya lo hice, es mas di la solucion de la diofántica, mi pregunta era otra

[feriva]

Eso ya lo hice, es mas di la solucion de la diofántica, mi pregunta era otra

Bien. Sólo he empezado por el principio a explicar en líneas generales para que quedara más claro (no puedo saber exactamente qué cosas has estudiado o te sabes bien del todo).

Pero fíjate en que, según las ecuaciones de las fórmulas generales, lo que pones no es así

\( (x,y)=(2+3k,1+2k) \)

sino que tendría que ser así

\( (x,{\color{green}-}y)=(2+3k,1+2k) \)

o así

\( (x,y)=(2+3k,\,-1-2k) \).

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Pero fíjate en que, según las ecuaciones de las fórmulas generales, lo que pones no es así

\( (x,y)=(2+3k,1+2k) \)

sino que tendría que ser así

\( (x,{\color{green}-}y)=(2+3k,1+2k) \)

o así

\( (x,y)=(2+3k,\,-1-2k) \).

No tiene porqué. Depende de si paso de \( 4x\equiv 2\quad\mod\quad 6 \) pasó a:

\( 4x+6y=2 \) ó \( 4x-6y=2 \)

Ambas cosas son correctas y equivalentes.

Osea no podria decir \( x\equiv{2+3k},mod(6) \)

Tienes dos soluciones distintas módulo \( 6 \):

\( x=2+3\cdot 0,\quad x=2+3\cdot 1 \)

En general trabajando módulo \( m \) llegarás a \( x=a+bk \) mod \( m \). Tendrás \( m/b \) soluciones:

\( x_k=a+bk,\qquad k=0,1,\ldots,m/b-1 \)

Saludos.

[feriva]

Hola

Pero fíjate en que, según las ecuaciones de las fórmulas generales, lo que pones no es así

\( (x,y)=(2+3k,1+2k) \)

sino que tendría que ser así

\( (x,{\color{green}-}y)=(2+3k,1+2k) \)

o así

\( (x,y)=(2+3k,\,-1-2k) \).

No tiene porqué. Depende de si paso de \( 4x\equiv 2\quad\mod\quad 6 \) pasó a:

\( 4x+6y=2 \) ó \( 4x-6y=2 \)

Ambas cosas son correctas y equivalentes.

Sí, tienes razón. Debería haber añadido que también podría ser cambiando el signo en la otra (de hecho lo he pensado) que las variables van supeditadas; si se cambia en una, se cambia en la otra, el caso es que los signos hagan certa la igualdad

\( 4x+6y=2 \) (o la igualdad \( 4x-6y=2 \) o como se ponga).

Muchas gracias, Luis.

Saludos.

[Nub]

Tienes dos soluciones distintas módulo \( 6 \):

\( x=2+3\cdot 0,\quad x=2+3\cdot 1 \)

En general trabajando módulo \( m \) llegarás a \( x=a+bk \) mod \( m \). Tendrás \( m/b \) soluciones:

\( x_k=a+bk,\qquad k=0,1,\ldots,m/b-1 \)

Saludos.

Entiendo, pero prácticamente la sacaste a ojo no ?  es decir le diste valores a \( k \) y bueno basta probar hasta que \( 2+3k \) no se pase de 6

[Luis Fuentes]

Hola

Entiendo, pero prácticamente la sacaste a ojo no ?  es decir le diste valores a \( k \) y bueno basta probar hasta que \( 2+3k \) no se pase de 6

No es a ojo. De hecho después te he dado la forma general que se cumple en cualquier caso.

Para una congruencia \( px=q \) mod \( m \) la solución siempre será de la forma:

\( x=a+bk \) con \( k \) entero y \( m \) divisble por \( b \)

Si llamas \( c=m/b \) tienes que cualquier \( k \) se escribir como \( k=k'c+r \) con \( r=0,1,\dots,c-1 \) (\( r \) es el resto de dividir \( k \) por \( c \))

Entonces las soluciones quedarían:

\( x=a+bk=a+(k'c+r)b=a+k'cb+rb=a+rb+mb \)

Pero módulo \( m \), \( a+rb+mb=a+rb \) y por tanto, módulo \( m \) nos basta con considerar:

\( x=a+rb \) con \( r=0,1,\ldots,c-1 \).

Saludos.

[Nub]

Hola

Entiendo, pero prácticamente la sacaste a ojo no ?  es decir le diste valores a \( k \) y bueno basta probar hasta que \( 2+3k \) no se pase de 6

No es a ojo. De hecho después te he dado la forma general que se cumple en cualquier caso.

Para una congruencia \( px=q \) mod \( m \) la solución siempre será de la forma:

\( x=a+bk \) con \( k \) entero y \( m \) divisble por \( b \)

Si llamas \( c=m/b \) tienes que cualquier \( k \) se escribir como \( k=k'c+r \) con \( r=0,1,\dots,c-1 \) (\( r \) es el resto de dividir \( k \) por \( c \))

Entonces las soluciones quedarían:

\( x=a+bk=a+(k'c+r)b=a+k'cb+rb=a+rb+mb \)

Pero módulo \( m \), \( a+rb+mb=a+rb \) y por tanto, módulo \( m \) nos basta con considerar:

\( x=a+rb \) con \( r=0,1,\ldots,c-1 \).

Saludos.

Entonces en mi ejemplo es \( x_k=2+3k, k=0,1,...,\displaystyle\frac{6}{3-1} \) osea \( k={0,1,2,3} \)
Luego \(  x_0=2, x_1=5, x_2=8, x_3=11 \) pero \( x_0\equiv{x_2} \) y \( x_1\equiv{x_3} \). Osea mi pregunta era las soluciones no congruentes entre si, y bueno haciendo esto hay que descartar, por eso decía a ojo pues no hay una formula que te lo de explicitamente como hice yo arriba que eran \( x=2+6k \) y \( x′=5+6k   \) (las hice a partir de las soluciones)

[Nub]

Hola

Entiendo, pero prácticamente la sacaste a ojo no ?  es decir le diste valores a \( k \) y bueno basta probar hasta que \( 2+3k \) no se pase de 6

No es a ojo. De hecho después te he dado la forma general que se cumple en cualquier caso.

Para una congruencia \( px=q \) mod \( m \) la solución siempre será de la forma:

\( x=a+bk \) con \( k \) entero y \( m \) divisble por \( b \)

Si llamas \( c=m/b \) tienes que cualquier \( k \) se escribir como \( k=k'c+r \) con \( r=0,1,\dots,c-1 \) (\( r \) es el resto de dividir \( k \) por \( c \))

Entonces las soluciones quedarían:

\( x=a+bk=a+(k'c+r)b=a+k'cb+rb=a+rb+mb \)

Pero módulo \( m \), \( a+rb+mb=a+rb \) y por tanto, módulo \( m \) nos basta con considerar:

\( x=a+rb \) con \( r=0,1,\ldots,c-1 \).

Saludos.

Entonces en mi ejemplo es \( x_k=2+3k, k=0,1,...,\displaystyle\frac{6}{3-1} \) osea \( k={0,1,2,3} \)
Luego \(  x_0=2, x_1=5, x_2=8, x_3=11 \) pero \( x_0\equiv{x_2} \) y \( x_1\equiv{x_3} \). Osea mi pregunta era las soluciones no congruentes entre si, y bueno haciendo esto hay que descartar, por eso decía a ojo pues no hay una formula que te lo de explicitamente como hice yo arriba que eran \( x=2+6k \) y \( x′=5+6k   \) (las hice a partir de las soluciones)

Espera... era \( \displaystyle\frac{m}{b}-1 \) asi tiene sentido y lo que digo yo es innecesario, solo que arriba escribiste m/b-1 y esto lo interprete mal