Estara bien esto :
Considere la ecuación diferencial de Hermite:
$$
H_n^{\prime \prime}-2 t H_n^{\prime}+2 n H_n=0 .
$$
a) Pruebe que esta ecuación puede ser escrita en la forma
$$
\left[e^{-t^2} H_n^{\prime}\right]^{\prime}=-2 n e^{-t^2} H_n
$$
b) Use la parte a) para probar la ortogonalidad de los polinomios de Hermite.
a) Para probar que la ecuación diferencial de Hermite:
\[
H_n''(t) - 2tH_n'(t) + 2nH_n(t) = 0
\]
puede ser escrita en la forma dada:
\[
\left[e^{-t^2} H_n'(t)\right]' = -2ne^{-t^2}H_n(t)
\]
comencemos por calcular la derivada de \(\left[e^{-t^2} H_n'(t)\right]'\):
\[
\begin{align*}
\left[e^{-t^2} H_n'(t)\right]' &= e^{-t^2}\left[H_n''(t) - 2tH_n'(t)\right]' \\
&= e^{-t^2}\left[H_n'''(t) - 2H_n'(t) - 2tH_n''(t) + 4t^2H_n'(t)\right].
\end{align*}
\]
Ahora, multipliquemos la ecuación original por \(e^{-t^2}\) y obtendremos:
\[
e^{-t^2}\left[H_n''(t) - 2tH_n'(t) + 2nH_n(t)\right] = 0.
\]
Dado que \(e^{-t^2}\) no se anula en ningún punto en su dominio, podemos dividir ambos lados de la ecuación por \(e^{-t^2}\):
\[
H_n''(t) - 2tH_n'(t) + 2nH_n(t) = 0.
\]
Comparando esta expresión con la derivada de \(\left[e^{-t^2} H_n'(t)\right]'\) que calculamos anteriormente, notamos que son iguales. Por lo tanto, hemos demostrado que la ecuación diferencial de Hermite puede ser escrita en la forma dada:
\[
\left[e^{-t^2} H_n'(t)\right]' = -2ne^{-t^2}H_n(t).
\]
b) Para probar la ortogonalidad de los polinomios de Hermite utilizando la parte a), primero notamos que los polinomios de Hermite están definidos como soluciones de la ecuación diferencial de Hermite. Denotemos dos polinomios de Hermite como \(H_m(t)\) y \(H_n(t)\) con \(m \neq n\). Entonces, usando la parte a), tenemos:
\[
\left[e^{-t^2} H_m'(t)\right]' = -2me^{-t^2}H_m(t)
\]
y
\[
\left[e^{-t^2} H_n'(t)\right]' = -2ne^{-t^2}H_n(t).
\]
Ahora, multiplicamos la primera ecuación por \(H_n(t)\) y la segunda ecuación por \(H_m(t)\) y las restamos:
\[
\begin{align*}
&H_n(t)\left[e^{-t^2} H_m'(t)\right]' - H_m(t)\left[e^{-t^2} H_n'(t)\right]' \\
&= H_n(t)(-2me^{-t^2}H_m(t)) - H_m(t)(-2ne^{-t^2}H_n(t)) \\
&= 2(m-n)e^{-t^2}H_m(t)H_n(t).
\end{align*}
\]
Integremos ambos lados de la ecuación anterior respecto a \(t\) en el intervalo \((-\infty, \infty)\) utilizando el producto interno definido como:
\[
\langle f, g \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)g(t)e^{-t^2}dt.
\]
Obtenemos:
\[
2(m-n)\langle H_m, H_n \rangle = 0,
\]
donde \(\langle H_m, H_n \rangle\) es el producto interno entre los polinomios \(H_m(t)\) y \(H_n(t)\). Dado que \(m \neq n\), la única forma en que la ecuación anterior sea verdadera es si \(\langle H_m, H_n \rangle = 0\), lo que demuestra la ortogonalidad de los polinomios de Hermite cuando \(m \neq n\).
De modo que hemos demostrado que los polinomios de Hermite son ortogonales entre sí utilizando la ecuación diferencial de Hermite y la parte a) de la pregunta.
