Hola
Hola
Disculpa, la poca claridad;
Es decir si estoy en un \( D_n,| \) con la relación divisores de n, quiero ver que el \( p^n \) en el diagrama de Hasse no se puede expresar como supremo de dos elementos distintos.
Lo que tienes que probar es que si \( p^n=sup(a,b) \) entonces \( a=p^n \) ó \( b=p^n \).
Pero que \( p^n=sup(a,b) \) significa en primer lugar que \( a,b \) son divisores de \( p^n \) y por tanto como \( p \) es primo, \( a=p^s \) y \( b=p^t \) con \( s,t\leq n. \), es decir, \( n\geq max\{s,t\} \).
Pero si \( n>max\{s,t\} \) entonces \( n-1\geq s,t \) y \( p^{n-1} \) sería un múltiplo común de \( a,b \) pero entonces \( p^n \) no sería el supremo.
Por tanto \( n=max\{s,t\} \) y así \( n=s \) ó \( n=t \), es decir, \( p^n=a \) ó \( p^n=b \).
En cuanto la recíproco, si \( p^n \) es supremo irreducible entonces \( p \) es primo. En otro caso si \( p=ab \) con \( a,b>1 \) coprimos, se tiene que:
\( p^n=sup(a^n,b^n) \)
Saludos.
P.D. Si trabajas con los divisores de \( N \) para que todo esto tenga sentido se supone que \( p^n \) es divisor de \( N \).
