[RDC]

El otro día abrí un hilo preguntando si había algún teorema que demostrase que dado un número cualquiera \( c \) entonces era posible encontrar un \( p_1 \) al restar \( c-b \)  y luego encontrar un \( p_2 \) al sumar \( c+b \). Feriva me mostró que eso era la conjetura de Goldbach. Y entonces entendí que si esa conjetura es cierta entonces dado cualquier \( c^2 \) era posible generar un rectángulo "perfecto", de medidas \( p_1·p_2 \), restándole un \( b^2 \) menor -De hecho, puede darse también que \( p_1=p_2  \) y obtengamos un cuadrado perfecto.

Tenemos pues, que la conjetura Goldbach se puede reescribir o entender como:

Existen dos números primos \( p_1,p_2 \) menores que 2, tales que:

\( (c-b)=p_1 \)
\( (c+b)=p_2 \)

Por tanto:

\( (c-b)(c+b)=c^2-b^2=p_1p_2 \)

Visualmente, pues, la conjetura de Goldbach significa que en cada hilera del triángulo de Fermat (a partir de la 3º hilera) siempre encontraremos, como mínimo, un numero natural impar \( x \) tal que \( x=p_1p_2 \). Siendo \( p_1,p_2<2 \). Y siendo además posible que \( p_1=p_2 \).



Partiendo de este triángulo de Fermat, y que \( p_1\leq{p_2} \), entonces para que existan rectángulos perfectos, \( p_1·p_2 \), en cada hilera del triángulo las variables \( c,b \) deberían valer lo siguiente:

\( c=\displaystyle\frac{p_1+p_2}{2} \)

\( b=\displaystyle\frac{p_2-p_1}{2} \)

Con lo cual: \( (\displaystyle\frac{p_1+p_2}{2})^2-(\displaystyle\frac{p_2-p_1}{2})^2=p_1·p_2 \). Dándose también la posibilidad, como ya se ha dicho, de obtener un cuadrado perfecto cuando \( p_1=p_2 \) -Esto siempre sucede sólo cuando \( c \) es, precisamente, un número primo, por  ejemplo \( c=7 \). Y entonces \( b=0 \).

Si entendemos que la variable \( c \) es la que pauta las hileras del triángulo, entonces, si para cada \( c \) existe un rectángulo perfecto \( p_1·p_2 \), esto significa que es posible expresar \( 2c=p_1+p_2 \); es lo que precisamente pauta la conjetura fuerte de Goldbach.

Pero es más, si es posible que\( 2c=p_1+p_2 \), entonces \( c=p_1+b \), dado que existirá necesariamente un \( 2b=p_2-p_1 \)

Por tanto:

Para todo \( 2c=p_1+p_2 \) entonces existe \( c^2-b^2=p_1·p_2 \), o viceversa

De momento dejo esto.

[feriva]

Hola, RDC.

He buscado “triángulo de Fermat” y sólo encuentro una cosa que se llama “punto de Fermat”, no sé si tiene que ver.

En el dibujo que pones observo que si en la primera columna van los naturales ordenados, 1,2,3,4..., en la segunda aparecen sus cuadrados ; y en la diagonal más exterior los impares de arriba a abajo, 1,3,5...; debajo hay una diagonal con múltiplos de 4; y a partir del 9, en diagonal y hacia abajo, va sumando 6... Pero no termino de saber cómo se construye.

Saludos.

[RDC]

Hola, RDC.

He buscado “triángulo de Fermat” y sólo encuentro una cosa que se llama “punto de Fermat”, no sé si tiene que ver.

En el dibujo que pones observo que si en la primera columna van los naturales ordenados, 1,2,3,4..., en la segunda aparecen sus cuadrados ; y en la diagonal más exterior los impares de arriba a abajo, 1,3,5...; debajo hay una diagonal con múltiplos de 4; y a partir del 9, en diagonal y hacia abajo, va sumando 6... Pero no termino de saber cómo se construye.

Saludos.

Hola feriva, yo le llamo el triángulo de Fermat porque leí por ahí que lo creó él para tratar los números \( x=c^2-b^2 \). Obviamente, cuando x es un cuadrado perfecto tenemos, entonces, una terna pitagórica.

Sí, la idea es colocar en el eje vertical los valores de \( c \), que son números naturales, y luego se pasan a números cuadrados para expresar \( c^2 \).

En el eje horizontal se colocan los valores de b como números naturales, que se pasan a números cuadrados para expresar \( b^2 \).

Entonces cada número, \( x \), del triángulo no es más que \( c^2-b^2 \).

Es un triángulo muy chulo que muestra relaciones curiosas, como esta de la conjetura de Goldbach

[feriva]

Hola, RDC.

He buscado “triángulo de Fermat” y sólo encuentro una cosa que se llama “punto de Fermat”, no sé si tiene que ver.

En el dibujo que pones observo que si en la primera columna van los naturales ordenados, 1,2,3,4..., en la segunda aparecen sus cuadrados ; y en la diagonal más exterior los impares de arriba a abajo, 1,3,5...; debajo hay una diagonal con múltiplos de 4; y a partir del 9, en diagonal y hacia abajo, va sumando 6... Pero no termino de saber cómo se construye.

Saludos.

Hola feriva, yo le llamo el triángulo de Fermat porque leí por ahí que lo creó él para tratar los números \( x=c^2-b^2 \). Obviamente, cuando x es un cuadrado perfecto tenemos, entonces, una terna pitagórica.

Sí, la idea es colocar en el eje vertical los valores de \( c \), que son números naturales, y luego se pasan a números cuadrados para expresar \( c^2 \).

En el eje horizontal se colocan los valores de b como números naturales, que se pasan a números cuadrados para expresar \( b^2 \).

Entonces cada número, \( x \), del triángulo no es más que \( c^2-b^2 \).

Es un triángulo muy chulo que muestra relaciones curiosas, como esta de la conjetura de Goldbach

Ahhh, ya veo. Eso lo usé yo bastante cuando intentaba factorizar los RSA, es lo que utilizaba Fermat para factorizar números. Pero yo no sabía lo del triángulo.

Ahora lo entiendo (me ha costado un poco, eh, hasta que he entendido qué fila y qué columna y tal). Te refieres a la fila y a la columna rosas. Así, si buscamos un número en un cierto escalón, por ejemplo el 21, éste está en las coordenadas (5,2) de dichas fila y columna y resulta que

\( 5^{2}-2^{2}=21=(5+2)(5-2) \), donde su factorización es \( 7\cdot3=21 \); que es única en este caso, porque es un semiprimo.

Y entonces, a partir de eso, tenemos también la suma (5+2)+(5-2) 7+3=10, el par 10, conjeturando que en todas las filas va a haber al menos un par de primos tal que pase eso, lo que implicaría que, si fuera en todas las filas hasta el infinito, se cumpliría para todos los pares y, por tanto, se cumpliría la conjetura de Goldbach, ¿no?

Saludos.

[RDC]

Hola, RDC.

He buscado “triángulo de Fermat” y sólo encuentro una cosa que se llama “punto de Fermat”, no sé si tiene que ver.

En el dibujo que pones observo que si en la primera columna van los naturales ordenados, 1,2,3,4..., en la segunda aparecen sus cuadrados ; y en la diagonal más exterior los impares de arriba a abajo, 1,3,5...; debajo hay una diagonal con múltiplos de 4; y a partir del 9, en diagonal y hacia abajo, va sumando 6... Pero no termino de saber cómo se construye.

Saludos.

Hola feriva, yo le llamo el triángulo de Fermat porque leí por ahí que lo creó él para tratar los números \( x=c^2-b^2 \). Obviamente, cuando x es un cuadrado perfecto tenemos, entonces, una terna pitagórica.

Sí, la idea es colocar en el eje vertical los valores de \( c \), que son números naturales, y luego se pasan a números cuadrados para expresar \( c^2 \).

En el eje horizontal se colocan los valores de b como números naturales, que se pasan a números cuadrados para expresar \( b^2 \).

Entonces cada número, \( x \), del triángulo no es más que \( c^2-b^2 \).

Es un triángulo muy chulo que muestra relaciones curiosas, como esta de la conjetura de Goldbach

Ahhh, ya veo. Eso lo usé yo bastante cuando intentaba factorizar los RSA, es lo que utilizaba Fermat para factorizar números. Pero yo no sabía lo del triángulo.

Ahora lo entiendo (me ha costado un poco, eh, hasta que he entendido qué fila y qué columna y tal). Te refieres a la fila y a la columna rosas. Así, si buscamos un número en un cierto escalón, por ejemplo el 21, éste está en las coordenadas (5,2) de dichas fila y columna y resulta que

\( 5^{2}-2^{2}=21=(5+2)(5-2) \), donde su factorización es \( 7\cdot3=21 \); que es única en este caso, porque es un semiprimo.

Y entonces, a partir de eso, tenemos también la suma (5+2)+(5-2) 7+3=10, el par 10, conjeturando que en todas las filas va a haber al menos un par de primos tal que pase eso, lo que implicaría que, si fuera en todas las filas hasta el infinito, se cumpliría para todos los pares y, por tanto, se cumpliría la conjetura de Goldbach, ¿no?

Saludos.

Sí, parece ser que la conjetura de Goldbach se puede reinterpretar por la conjetura de que dado un cuadrado, \( c^2 \), siempre encontraremos otro cuadrado menor, \( b^2 \), que restándolos nos da un rectángulo perfecto (de área \( p_1·p_2 \)), o bien si \( c^2 \) es el cuadrado de un primo se mantiene igual: área (\( p_1^2 \)).

Entonces, eso significa que podemos expresar \( 2c=p_1+p_2 \)

Por ejemplo, si:

\( c^2=4^2=16 \)
\( b^2=1 \)

Entonces \( 16-1=3·5=15 \)



Hecho que significa que:

\( 2c= 5+3=8 \) y por tanto \( c=4=\displaystyle\frac{5+3}{2} \)

Y si miramos en el triángulo de Fermat apreciaremos que el 8 (ver la fila 4) sólo se puede expresar como la suma de 2 primos a través de esta forma:\( 8= 5+3 \). No hay más posibilidades.




Sin embargo, vale destacar que hay una excepción: cuando \(  b=c-1 \).

Es decir, todos los números\(  x \) del tipo \( x=c^2-(c-1)^2 \) no cumplen esto, dado que \( x=(c-(c-1))(c+(c-1))=1(2c+1)\Longrightarrow{1+(2c-1)=2c} \).

Por ejemplo \( 8^2-7^2=3·5=(8-7)(8+7)=1·15 \), y por tanto \( 1+15=2·8=16 \). Todos los demás números del triángulo parece que sí.


En definitiva, dado que \( c \) es un natural cualquiera, la conjetura de Goldbach parece ser completamente equivalente con la conjetura de hallar un rectángulo perfecto (o el cuadrado de un primo) al restarle un \( b^2 \), siendo \( b<c-1 \).

Por tanto, es equivalente con la conjetura de hallar un semiprimo, \( p_1·p_2 \) (o bien \( p_1^2 \)) en cada fila del triángulo de Fermat (excepto en los extremos de la fila donde están los números \( x=c^2-(c-1)^2 \)).

Y en definitiva, un número  \( 2c \) se puede expresar como \( p_1+p_2 \) de tantas formas diferentes según el número de rectángulos perfectos (y cuadrados de primos) que tenga la hilera \( c \) del triángulo de Fermat -sin contar los números que salgan al final de la hilera.