[asdafw]

Buenas,estoy estudiando, y me he encontrado el siguiente problema de divisibilidad, tengo un par de dudas de como debería abordarlo ya que el libro donde estoy aprendiendo no hay nada parecido:
He supuesto que debo aplicar que el \( mcd(a,b)=mcd(b,r) \) pero no se si esta bien por el hecho de que sea el resto negativo.
si alguien pudiese resolverlo razonadamente lo agradeceria.
Muchas gracias.
Este es el ejercicio completo:

a)Probar que el máximo común divisor del dividendo a y el divisor b, de una división es igual al
máximo común divisor del divisor y el resto.

b) Sea \(  a=72q-167  \) siendo q entero, hallar de forma razonada, el máximo común divisor de \( a \) y \( 72 \)

c) Si d es el máximo común divisor de \( a \) y \( 72 \) hallado en el punto anterior, entonces existen dos enteros \( c_1  \) y \(  c_2 \) llamados Coeficientes de Bezout, tales que \( d=c_1*a+c_2*b \)  (Identidad de Bezout).
Hallar, razonadamente \( c_1  \) y \(  c_2 \) .

d) Hallar el mínimo común múltiplo de \( a+72  \) y
\(  72*a \) .

[Masacroso]

¡Bienvenido al foro asdafw! Los ejercicios en forma de texto deben ir escritos directamente en el foro y las fórmulas matemáticas deben ir escritas en \( \LaTeX \), aquí tienes un mini tutorial al respecto:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=55682.0

Respecto al ejercicio, ¿qué apartado es el que no sabes resolver? También deberías indicar el resto del ejercicio que no sale para tener mejor contexto y saber cómo ayudarte en la resolución, ya que dependerá mucho del libro que estés siguiendo la manera de resolverlo, es decir, de los resultados que ya conoces.

[asdafw]

Gracias y disculpa, ya lo he cambiado.

[Masacroso]

Gracias y disculpa, ya lo he cambiado.

Supongo que quieres resolver, antes que nada, el apartado a). Para eso debes usar la definición que tengas de máximo común divisor de dos enteros y, quizá, algún teorema que ya hayan mostrado. Por eso necesito más contexto para orientarte, por ejemplo, la definición de máximo común divisor que suelo usar es la siguiente

\( \displaystyle{
\operatorname{mcd}(a,b):=\inf \{r\in \mathbb{N}\setminus \{0\}: r=ma+nb \text{ para algún par }m,n\in \mathbb{Z}\}
} \)

Otra definición, utilizando el teorema fundamental de la aritmética, sería así: sea \( \mathbb{P}\subset \mathbb{N} \) el conjunto de números primos y \( a,b\in \mathbb{Z} \) tales que \( a=\operatorname{signo}(a)\cdot \prod_{p\in \mathbb{P}}p^{\nu _p(a)} \) y \( b=\operatorname{signo}(b)\cdot \prod_{p\in \mathbb{P}}p^{\nu_p(b)} \) donde cada \( \nu _p \) es un entero no negativo, es decir, lo anterior sería la descripción de \( a \) y de \( b \) en tanto a su composición de factores primos, entonces con esa descripción tenemos que \( \operatorname{mcd}(a,b)=\prod_{p\in \mathbb{P}}p^{\min\{ \nu _p(a),\nu _p(b) \}} \).

[feriva]

Buenas estoy estudiando, y me he encontrado el siguiente problema de divisibilidad, tengo un par de dudas de como debería abordarlo ya que el libro donde estoy aprendiendo no hay nada parecido:
He supuesto que debo aplicar que el \( mcd(a,b)=mcd(b,r) \) pero no se si esta bien por el hecho de que sea el resto negativo.
si alguien pudiese resolverlo razonadamente lo agradeceria.
Muchas gracias.
Este es el ejercicio completo:

a)Probar que el máximo común divisor del dividendo a y el divisor b, de una división es igual al
máximo común divisor del divisor y el resto.

b) Sea \(  a=72q-172  \) siendo q entero, hallar de forma razonada, el máximo común divisor de \( a \) y \( 72 \)

c) Si d es el máximo común divisor de \( a \) y \( 72 \) hallado en el punto anterior, entonces existen dos enteros \( c_1  \) y \(  c_2 \) llamados Coeficientes de Bezout, tales que \( d=c_1*a+c_2*b \)  (Identidad de Bezout).
Hallar, razonadamente \( c_1  \) y \(  c_2 \) .

d) Hallar el mínimo común múltiplo de \( a+72  \) y
\(  72*a \) .

Te doy unas “pistas” para los tres.


(Perdona, creí haber visto 167 en la imagen, pero ahora veo que pone 172; entonces no sé si es que visto mal).

Tienes:

\( a=72q-167 \)

72 y 167 no tienen factores comunes, son coprimos. Por tanto, ningún factor de 72 divide a “a”. Con eso ya sabes cuánto vale MCD (a,72).

En el siguiente, en principio, tienes esta ecuación

\( ac_{1}+72c_{2}=d \)

donde si \( ac_{1}=-71 \) se hace cierta la igualdad para \( c_{2}=1 \). Y con eso ya puedes hacerlo (recuerda que 71 es primo). Ah, no, estos coeficientes no valen, las variables están ligadas a la ecuación anterior, tienes que hacerlo como dice ani-pascual

El mínimo común múltiplo de a+72 y 72a es tal que en él el factor 72 sólo aparecerá elevado a la 1, pues “a” es coprimo con 72... Y con esa pista es muy fácil hallarlo.

Saludos.

[ani_pascual]

Buenas estoy estudiando, y me he encontrado el siguiente problema de divisibilidad, tengo un par de dudas de como debería abordarlo ya que el libro donde estoy aprendiendo no hay nada parecido:
He supuesto que debo aplicar que el \( mcd(a,b)=mcd(b,r) \) pero no se si esta bien por el hecho de que sea el resto negativo.
si alguien pudiese resolverlo razonadamente lo agradeceria.
Muchas gracias.
Este es el ejercicio completo:

a)Probar que el máximo común divisor del dividendo a y el divisor b, de una división es igual al
máximo común divisor del divisor y el resto.

b) Sea \(  a=72q-172  \) siendo q entero, hallar de forma razonada, el máximo común divisor de \( a \) y \( 72 \)

c) Si d es el máximo común divisor de \( a \) y \( 72 \) hallado en el punto anterior, entonces existen dos enteros \( c_1  \) y \(  c_2 \) llamados Coeficientes de Bezout, tales que \( d=c_1*a+c_2*b \)  (Identidad de Bezout).
Hallar, razonadamente \( c_1  \) y \(  c_2 \) .

d) Hallar el mínimo común múltiplo de \( a+72  \) y
\(  72*a \) .

Hola:
Por añadir alguna idea más, otra forma de demostrar el apartado a) es  llamando, por ejemplo,  \( d=mcd(a,b) \), \( f=mcd(b,r) \) y comprobar mediante sencillos razonamientos que necesariamente \( d|f \), \( f|d \) de donde se deduce que \( d=f\Longleftrightarrow mcd(a,b)=mcd(b,r) \)
Veré si te puedo ayudar con los otros apartados. Saludos

[ani_pascual]

Buenas estoy estudiando, y me he encontrado el siguiente problema de divisibilidad, tengo un par de dudas de como debería abordarlo ya que el libro donde estoy aprendiendo no hay nada parecido:
He supuesto que debo aplicar que el \( mcd(a,b)=mcd(b,r) \) pero no se si esta bien por el hecho de que sea el resto negativo.
si alguien pudiese resolverlo razonadamente lo agradeceria.
Muchas gracias.
Este es el ejercicio completo:

a)Probar que el máximo común divisor del dividendo a y el divisor b, de una división es igual al
máximo común divisor del divisor y el resto.

b) Sea \(  a=72q-172  \) siendo q entero, hallar de forma razonada, el máximo común divisor de \( a \) y \( 72 \)

c) Si d es el máximo común divisor de \( a \) y \( 72 \) hallado en el punto anterior, entonces existen dos enteros \( c_1  \) y \(  c_2 \) llamados Coeficientes de Bezout, tales que \( d=c_1*a+c_2*b \)  (Identidad de Bezout).
Hallar, razonadamente \( c_1  \) y \(  c_2 \) .

d) Hallar el mínimo común múltiplo de \( a+72  \) y
\(  72*a \) .

Como ha apuntado feriva, en el enunciado pone que \( a=72q-167 \) con \( q\in\mathbb{Z} \)



Si se plantea con \( a=72q-172 \) me parece que no se puede concluir un único valor para el \( mcd(a,72) \)

[ani_pascual]

c) Si d es el máximo común divisor de \( a \) y \( 72 \) hallado en el punto anterior, entonces existen dos enteros \( c_1  \) y \(  c_2 \) llamados Coeficientes de Bezout, tales que \( d=c_1*a+c_2*b \)  (Identidad de Bezout).
Hallar, razonadamente \( c_1  \) y \(  c_2 \) .

d) Hallar el mínimo común múltiplo de \( a+72  \) y
\(  72*a \) .

Para el apartado c) basta con que resuelvas una ecuación diofántica. Ten en cuenta que si \( d=mcd(a,72) \) calculado en el apartado b) y \( a=72q-167 \) para algún \( q\in\mathbb{Z} \) entonces hallar \( c_1,c_2\in\mathbb{Z} \) tales que \( d=ac_1+72c_2 \) equivale a hallar \( m,n\in\mathbb{Z} \) tales que \( d=72m+167n \).
Para el apartado d) es suficiente aplicar el resultado teórico siguiente:
Para cualesquiera \( a,b\in\mathbb{Z} \) se verifica \( mcd(a,b)=mcd(a+b, mcm(a,b)) \)
junto con este otro:
Para cualesquiera \( a,b\in\mathbb{Z} \) se verifica \( mcd(a,b)\cdot mcm(a,b)=|ab| \)

Saludos

[asdafw]

Buenas,
Primero que todo he corregido el ejercicio, lo correcto estaba en la foto,muchas gracias por la ayuda, sobretodo por el formato de no darme directamente la solución, sino hacerme razonar.
ahora voy a desarrollar un poco como he resuelto los apartados, por si puedas aportar algo o corregirme en caso necesario.
El apartado a es una demostración que no voy a poner porque aparecía directamente en el libro, así que vamos con el siguiente:

En el apartado B simplemente aplico el teorema del apartado A, donde si \( mcd(a,72)=mcd(72,167) \) por el algoritmo de Euclides, obtengo que el resultado es 1 y por tanto el que se busca en el ejercicio.
Antes de pasar al apartado siguiente me gustaría saber porque se trata a -167 como resto si es negativo si \( 0\leq{}r<b \), la única forma que se me ocurre es que  \( a= 72q +p167 \) siendo\( p=-1 \) si no es ese el razonamiento, házmelo saber.

en el apartado c simplemente aplico la identidad de Bezout
donde \( 1= a*c_1+72*c_2 \) despejando \( a*c_1 \) queda que es igual a -71 para que se cumpla la igualdad y como 71 es primo la unica posibilidad es \( c_1 = -1 \) por lo que \( c_1 =-1  \) y \( c_2=1 \).

en el ultimo apartado la verdad que no estoy muy seguro de como abordarlo correctamente, he visto una demostración parecida pero no se aplicarla totalmente bien al problema actual, así que necesitaría un poco de más ayuda ya que tengo que razonar cada propiedad que utilice.

Muchas gracias de nuevo por la ayuda.

[feriva]

Buenas,
Primero que todo he corregido el ejercicio, lo correcto estaba en la foto,muchas gracias por la ayuda, sobretodo por el formato de no darme directamente la solución, sino hacerme razonar.
ahora voy a desarrollar un poco como he resuelto los apartados, por si puedas aportar algo o corregirme en caso necesario.
El apartado a es una demostración que no voy a poner porque aparecía directamente en el libro, así que vamos con el siguiente:

En el apartado B simplemente aplico el teorema del apartado A, donde si \( mcd(a,72)=mcd(72,167) \) por el algoritmo de Euclides, obtengo que el resultado es 1 y por tanto el que se busca en el ejercicio.
Antes de pasar al apartado siguiente me gustaría saber porque se trata a -167 como resto si es negativo si \( 0\leq{}r<b \), la única forma que se me ocurre es que  \( a= 72q +p167 \) siendo\( p=-1 \) si no es ese el razonamiento, házmelo saber.

en el apartado c simplemente aplico la identidad de Bezout
donde \( 1= a*c_1+72*c_2 \) despejando \( a*c_1 \) queda que es igual a -71 para que se cumpla la igualdad y como 71 es primo la unica posibilidad es \( c_1 = -1 \) por lo que \( c_1 =-1  \) y \( c_2=1 \).

en el ultimo apartado la verdad que no estoy muy seguro de como abordarlo correctamente, he visto una demostración parecida pero no se aplicarla totalmente bien al problema actual, así que necesitaría un poco de más ayuda ya que tengo que razonar cada propiedad que utilice.

Muchas gracias de nuevo por la ayuda.

Lo que se hace es, partiendo de aquí

\( ac_{1}+72c_{2}=1 \) (ya sa ha visto que d=1)

sustituir “a”

\( (72q-167)c_{1}+72c_{2}=1 \)

\( 72qc_{1}-167c_{1}+72c_{2}=1 \)

Como el primer y último sumando tienen en común c2 y ambos son mútliplos de 72, pues planteamos la ecuación diofántica así

\( 72m-167c_{1}=1 \); pero es más cómodo escribirlo con la letra “n”:

\( 72m-167n=1 \).

Ahora bien, a “m” y a “n les podemos poner el signo que sea siempre que la suma sea igual a 1, podemos jugar con los signos; por lo que podemos también cambiar ese signo menos por un “más” y queda más natural; porque, ademas, el mcd se toma siempre positivo. Y te queda eso \( 72m+167n=1 \).

...

El último apartado es fácil aplicando lo que te ha dicho ani-pascual, pero lo puedes ver incluso de forma intuitiva en este caso. Tienes que si “72” y “a” no tienen factores comunes, pues (a+72) tampoco los tiene ni con “a” ni con 72; por tanto, si son coprimos los tres, el mcm será

\( (a+72)72a \).

Saludos.