[soyjuga]

Buenas noches!!

Como demuestro que un cerrado en \( (\Bbb R^2, ||.||) \) posee elemento de norma mínima??

Gracias!

Moderación: corregido LaTeX.

[geómetracat]

Bienvenido/a al foro.

Por favor, lee las reglas del foro y ten en cuenta que los símbolos y fórmulas matemáticas deben escribirse en LaTeX. Por esta vez te lo hemos corregido desde moderación.

Sobre tu problema, supón que \( C \) es un cerrado en \( \Bbb R^2 \). Toma una bola cerrada centrada en el origen de radio \( R \) suficientemente grande, \( \overline{B}_0(R) \) de manera que \( C \cap \overline{B}_0(R) \neq \emptyset \). Entonces, \( C \cap \overline{B}_0(R) \) es un conjunto cerrado y acotado, y por tanto compacto (Heine-Borel). Teniendo en cuenta que la norma es una función continua, y que toda función continua alcanza un máximo y un mínimo en un compacto, tienes que existe un elemento de \( C \cap \overline{B}_0(R) \) de norma mínima. Finalmente, solo debes comprobar que este elemento es también de norma mínima en \( C \), que es sencillo y te lo dejo a ti.

[soyjuga]

Gracias por tu respuesta! Y perdón por el formato, era mi primera vez en el foro.

Para finalizar, si defino x como elemento de norma mínima, y tomo un elemento y digo:
Si y pertenece a la bola, ya está.
Si y no pertenece a la bola, la distancia al origen será mayor a r, por lo tanto su norma lo es. En cambio la norma de x es menor o igual a r.

De allí puedo deducir que la norma de x será menor o igual a la de y, para todo y en el conjunto C?

[geómetracat]

Gracias por tu respuesta! Y perdón por el formato, era mi primera vez en el foro.

Para finalizar, si defino x como elemento de norma mínima, y tomo un elemento y digo:
Si y pertenece a la bola, ya está.
Si y no pertenece a la bola, la distancia al origen será mayor a r, por lo tanto su norma lo es. En cambio la norma de x es menor o igual a r.

De allí puedo deducir que la norma de x será menor o igual a la de y, para todo y en el conjunto C?

Perdona que no me acordé de contestar este mensaje. Sí, esa es la idea, con eso ya pruebas que \( x \) es el de norma mínima.

[ani_pascual]

Bienvenido/a al foro.

Por favor, lee las reglas del foro y ten en cuenta que los símbolos y fórmulas matemáticas deben escribirse en LaTeX. Por esta vez te lo hemos corregido desde moderación.

Sobre tu problema, supón que \( C \) es un cerrado en \( \Bbb R^2 \). Toma una bola cerrada centrada en el origen de radio \( R \) suficientemente grande, \( \overline{B}_0(R) \) de manera que \( C \cap \overline{B}_0(R) \neq \emptyset \). Entonces, \( C \cap \overline{B}_0(R) \) es un conjunto cerrado y acotado, y por tanto compacto (Heine-Borel). Teniendo en cuenta que la norma es una función continua, y que toda función continua alcanza un máximo y un mínimo en un compacto, tienes que existe un elemento de \( C \cap \overline{B}_0(R) \) de norma mínima. Finalmente, solo debes comprobar que este elemento es también de norma mínima en \( C \), que es sencillo y te lo dejo a ti.

Es reconfortante entender tus explicaciones.