[David.O]

Buenos días,

Me pueden ayudar con este ejercicio por favor.

Una varilla uniforme delgada tiene una longitud L y una carga "Q". Situaremos el observador en el extremo izquierdo de la varilla. Una segunda partícula cargada "q" se encuentra ubicada situada en un punto a lo largo del eje de la varilla y a una distancia "a" del extremo derecho.

1. Hallar la magnitud , dirección y sentido de la fuerza eléctrica que sufre la carga q.
2. Demuestre que su resultado se reduce al valor esperado cuando "a" es considerablemente mayor que "L"

Espero puedan ayudarme, gracias.

[electron]

Tenemos una situación como la del dibujo:



Tomamos por ejemplo cargas positivas en la varilla y en la carga puntual.

La carga \( q \) sufre fuerzas de repulsión debidas a los elementos infinitesimales de carga \( dq \) que forman la varilla: \( dF=\displaystyle\frac{Kqdq}{(L+a-x)^2} \) [Ley de Coulomb en forma infinitesimal].

Por otro lado, si la varilla está cargada uniformemente, tiene una densidad lineal de carga constante \( \lambda=\displaystyle\frac{dq}{dx}=\displaystyle\frac{Q}{L} \), luego \( dq=\displaystyle\frac{Q}{L}dx \) y entonces \( dF=\displaystyle\frac{KQqdx}{L(L+a-x)^2} \).

Para hallar la fuerza total integramos: \( F=\displaystyle\int_{}^{}dF=\displaystyle\int_{x=0}^{L}\frac{KQq}{L(L+a-x)^2}dx=\displaystyle\frac{KQq}{a(a+L)} \).

Si \( a>>L \), entonces \( a+L\approx{a} \) y la fuerza total se aproxima a \( F=\displaystyle\frac{KQq}{a^2} \), que no es más que la fuerza entre dos cargas puntuales \( q \) y \( Q \) separadas una distancia \( a \). Esto es lógico, pues para distancias muy grandes la varilla aparece prácticamente como una carga puntual \( Q \) a ojos de la carga \( q \).

Saludos

[David.O]

Muchas gracias por ayudarme.

Te hago una pregunta, haciendo el ejercicio con el observador desde la carga "q" , entonces los limites de integración me quedaban desde "a" hasta "(a+L) y el resultado de la fuerza, em quedaba igual al resultado anterior. Tiene sentido?

Gracias.

[electron]

Hola.

Claro, el punto de vista es arbitrario. Siempre y cuando, claro, expreses correctamente la integral con las variables en juego.

Desde el punto O (en mi mensaje anterior) tenemos:

\( F=\displaystyle\int_{}^{}dF=\displaystyle\int_{x=0}^{L}\frac{KQq}{L(L+a-x)^2}dx=\displaystyle\frac{KQq}{a(a+L)} \)

Y desde el punto donde se encuentra la carga \( q \) se escribirá:

\( F=\displaystyle\int_{}^{}dF=\displaystyle\int_{x=a}^{a+L}\frac{KQq}{Lx^2}dx=\displaystyle\frac{KQq}{a(a+L)} \)

En el segundo caso que comentas ¡resulta incluso más sencillo de integrar!

Saludos

[David.O]

Te agradezco mucho, has sido de mucha ayuda.

[Richard R Richard]

Una varilla uniforme delgada tiene una longitud L y una carga "Q".

Hola entiendo que lo has interpretado como

Una varilla delgada tiene una longitud $$L$$ y una carga $$Q$$ distribuida uniforme, que mantendrá la posición de sus cargas aunque le acerques la carga $$q$$

Es realmente así? o también puedes que considerar la varilla conductora (que tampoco lo dice) , que en ausencia de otras cargas tiene la carga distribuida uniforme y considerar el efecto de inducción que provoca la carga $$q$$ sobre los extremos de la varilla.

Si son las cargas del mismo signo, en el origen se acumula $$Q+q$$ en el extremo derecho $$Q-q$$
Si son de signo puesto en el origen $$Q-q$$ y en el extremo derecho $$Q+q$$

El resto de la varilla tendría carga cero ,  entonces cuando  $$L<<<a$$ la fuerza se aproxima es la atracción o repulsión de dos cargas puntuales.

Así el ejercicio resulta más fácil de abordar sin integrales, la suma y resta de dos fuerzas colineales y hacer tender el límite de $$L$$ a cero.

Saludos