[David.O]

Hola, buenas tardes... Me podrían ayudar planteando este ejercicio por favor.

Un cable coaxial consiste en un conductor cilíndrico interior con radio a, y un cilindro exterior con radio interior b, los dos de longitud infinita. El cilindro interior tiene carga positiva uniforme por unidad de superficie ps.

1. Hallar la carga total en el cilindro interior.
2. Calcular el campo eléctrico en cualquier punto entre los cilindros a una distancia p del eje.
3. Hallar la densidad de carga del conductor exterior.

[Richard R Richard]

Hola, buenas tardes... Me podrían ayudar planteando este ejercicio por favor.

Un cable coaxial consiste en un conductor cilíndrico interior con radio a, y un cilindro exterior con radio interior b, los dos de longitud infinita. El cilindro interior tiene carga positiva uniforme por unidad de superficie ps.

1. Hallar la carga total en el cilindro interior.
2. Calcular el campo eléctrico en cualquier punto entre los cilindros a una distancia p del eje.
3. Hallar la densidad de carga del conductor exterior.

Hola David O  estás seguro que ese es el enunciado completo? si no es así tipealo por favor tal cual.

1)Porque lo digo porque si la longitud del cable es infinita y su densidad superficial de carga tiene un valor finito "no infinitesimal" entonces la carga del conductor total es infinita,  es casi una verdad de perogrullo.

2) Como no te dan datos mas que  valores algebraicos  puedes suponer  que el área del cilindro interior para una longitud arbitraria L es

$$A=2\pi a L$$  y la carga que esa área contiene es \( Q=\rho_a A=\rho_a 2\pi a L \) como la carga se reparte uniformemente en la longitud del hilo puedes sacar la densidad de carga longitudinal como $$\lambda=\dfrac{Q}{L}= \rho 2\pi a$$

y luego aplicar algún método de integración para calcular el campo eléctrico o aplicar directamente la fórmula general para cualquier radio $$r$$ exterior al cilindro

$$E(r)=\dfrac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 r}=\dfrac{\rho_a 2\pi a}{2\pi \epsilon_0 r}=\dfrac{\rho_a a}{\epsilon_0 r}$$

y esto es válido entre los radio $$a$$ y $$b$$ puesto que mas allá de $$b$$ existe un conductor y aunque no se aclara lo normal es considerar que se induce una carga igual y de signo contrario que se distribuye sobre la superficie interna de la superficie de radio $$b$$  puesto que aplicando una superficie gaussiana de radio mayor a $$b$$ a lo largo del conductor veríamos que el campo eléctrico es nulo justamente puesto que la carga total encerrada es 0 , es decir l suma de la misma cantidad de carga positiva como negativa.

así $$\rho_b =\dfrac{\lambda L}{2\pi b L}=\dfrac{\lambda }{2\pi b}=\dfrac{\rho_a 2\pi a }{2\pi b }=\rho_a \dfrac{a}{b}$$

Saludos

[David.O]

Hola Richard, gracias por responder.

Si, el enunciado dice exactamente así. También tenia dudas con lo de la longitud infinita y el profesor me dijo que lo trabajara desde una longitud de -L a L, pero sigo teniendo aún inconvenientes en los cálculos.

Espero que puedas ayudarme.

Muchas gracias,

[Richard R Richard]

Hola Richard, gracias por responder.

Si, el enunciado dice exactamente así. También tenia dudas con lo de la longitud infinita y el profesor me dijo que lo trabajara desde una longitud de -L a L, pero sigo teniendo aún inconvenientes en los cálculos.

Espero que puedas ayudarme.

Muchas gracias,

el caso es que si la longitud es infinita $$L=\infty$$ y $$-L=-\infty$$  la carga total el conductor resulta $$Q=\int_{-\infty}^{\infty}\rho 2\pi a \ dl= \infty$$

Por eso se usa una densidad lineal de carga $$\lambda$$, que será una una constante sin importar la longitud el cable.

Si en su defecto quieres darle una longitud finita al cable L  la integral anterior te queda $$Q=\int_{-L}^{L}\rho 2\pi a \ dl=\rho  4\pi a L$$  y es una buena aproximación siempre y cuando se cumpla que $$a <<<L$$ y $$b<<<L$$   es decir mientras el cable siga siendo un conductor delgado y estemos midiendo el campo eléctrico alejados de los extremos del cable (mas o menos al centro entre -L y L).