[Nub]

Hola, tengo que demostrar lo siguiente
\( mcd(a^n,b^n)=mcd(a,b)^n .\forall{n\in{\mathbb{Z^+}}}. \)
Y bueno, como todos los ejercicios que estaba haciendo salen con T.F.A pues usare este, no se si se podra hacer de otra forma pero la idea es con T.F.A

Por T.F.A tenemos \( a=p_1^{\alpha}*...*p_r^{\alpha_r} \) al elevar a la \( n \) \( a^n=p_1^{n\alpha}*...*p_r^{n\alpha_r} \)
hago lo mismo con b, \( b^n=b_1^{n\beta}*...*b_r^{n\beta_r} \)

Bueno, una aplicacion del T.F.A es calcular el MCD, eso de tomar los factores comunes a la menor potencia, esto ni idea como escribirlo en general pero en fin \( mcd(a,b)=p_k^{\alpha_k}*b_j^{\beta_j}*...*p_r^{\alpha_x}*b_r^{\beta_y} \) (Estos son los que estan en comun, por eso le cambie el subindice)

Hago lo mismo para \( mcd(a^n,b^n)=p_k^{n\alpha_k}*b_j^{n\beta_j}*...*p_r^{n\alpha_x}*b_r^{n\beta_y}=)(p_k^{\alpha_k}*b_j^{\beta_j}*...*p_r^{\alpha_x}*b_r^{\beta_y})^n=mcd(a,b)^n \)

¿Lo ven bien? y como podria escribirlo bien o con eso basta? Gracias

[Juan Pablo Sancho]

Sea \( \displaystyle a = \prod_{i=1}^m p_i^{\alpha_i} \) y \( \displaystyle b = \prod_{i=1}^m p_i^{\beta_i} \)
Donde si un primo está en a y no en b, lo ponemos en b elevado  a cero y viceversa.

Entonces \( \displaystyle mcd(a,b) = \prod_{i=1}^m p_i^{min(\alpha_i , \beta_i)}  \) supongo que era lo que querias poner.

Otro camino es que si \( d = mcd(a,b) \) entonces \( a = d \cdot a'  \) y \(  b = d \cdot b' \) entonces: \( mcd(a',b')=1 \).

Nos queda:
\( mcd(a^n,b^n) = mcd((da')^n,(db')^n) = d^n \cdot mcd((a')^n,(b')^n) = d^n \)

[Nub]

Sea \( \displaystyle a = \prod_{i=1}^m p_i^{\alpha_i} \) y \( \displaystyle b = \prod_{i=1}^m p_i^{\beta_i} \)
Donde si un primo está en a y no en b, lo ponemos en b elevado  a cero y viceversa.

Entonces \( \displaystyle mcd(a,b) = \prod_{i=1}^m p_i^{min(\alpha_i , \beta_i)}  \) supongo que era lo que querias poner.

Otro camino es que si \( d = mcd(a,b) \) entonces \( a = d \cdot a'  \) y \(  b = d \cdot b' \) entonces: \( mcd(a',b')=1 \).

Nos queda:
\( mcd(a^n,b^n) = mcd((da')^n,(db')^n) = d^n \cdot mcd((a')^n,(b')^n) = d^n \)

Hola Juan Pablo, muchas gracias

[ani_pascual]

Hola, tengo que demostrar lo siguiente
\( mcd(a^n,b^n)=mcd(a,b)^n .\forall{n\in{\mathbb{Z^+}}}. \)
Y bueno, como todos los ejercicios que estaba haciendo salen con T.F.A pues usare este, no se si se podra hacer de otra forma pero la idea es con T.F.A

Por T.F.A tenemos \( a=p_1^{\alpha}*...*p_r^{\alpha_r} \) al elevar a la \( n \) \( a^n=p_1^{n\alpha}*...*p_r^{n\alpha_r} \)
hago lo mismo con b, \( b^n=b_1^{n\beta}*...*b_r^{n\beta_r} \)

Bueno, una aplicacion del T.F.A es calcular el MCD, eso de tomar los factores comunes a la menor potencia, esto ni idea como escribirlo en general pero en fin \( mcd(a,b)=p_k^{\alpha_k}*b_j^{\beta_j}*...*p_r^{\alpha_x}*b_r^{\beta_y} \) (Estos son los que estan en comun, por eso le cambie el subindice)

Hago lo mismo para \( mcd(a^n,b^n)=p_k^{n\alpha_k}*b_j^{n\beta_j}*...*p_r^{n\alpha_x}*b_r^{n\beta_y}=)(p_k^{\alpha_k}*b_j^{\beta_j}*...*p_r^{\alpha_x}*b_r^{\beta_y})^n=mcd(a,b)^n \)

¿Lo ven bien? y como podria escribirlo bien o con eso basta? Gracias

Hola:
También se puede razonar de esta otra forma:
Llamando \( e=mcd( a,b), \,\,d=mcd(a^n,b^n) \) es claro que \( \left\{\begin{array}{l}e|a\\e|b \end{array}\right.\Longrightarrow \left\{\begin{array}{l}e^n|a^n\\e^n|b^n \end{array}\right.\Longrightarrow e^n|d \)

Por otra parte, \( \exists\,u,v\in\mathbb{Z} \), no únicos, tales que \( d=a^nu+b^nv \) luego como \( \left\{\begin{array}{l}e^n|a^nu\\e^n|b^nv \end{array}\right. \) resulta que \( e^n|(a^nu+b^nv)\Longleftrightarrow e^n|d \)
En definitiva \( d=e^n\Longleftrightarrow mcd(a^n,b^n)=[mcd(a,b)[^n \)
Saludos
Lo que está en rojo es redundante. La demostración está incompleta.
PD:
A ver si esta es correcta. Usando la misma notación, \( \exists\,r,s\in\mathbb{Z} \) tales que \( \left\{\begin{array}{l}a=er\\b=es \end{array}\right. \) con \( r,s \) primos entre sí, es decir, \( mcd(r,s)=1 \). Entonces, \( \left\{\begin{array}{l}a^n=e^nr^n\\b^n=e^ns^n \end{array}\right. \)  donde necesariamente \( r^n, s^n \) son primos entre sí. Así pues, \( e^n=mcd(a^n,b^n)=d \)
Acabo de ver que esta demostración ya la había puesto Juan Pablo Sancho; confieso que no la había leído 

[RDC]

Quizás otra forma de verlo:

Teniendo en cuenta que \( mcd(a,b)=m \), siendo a,b,m naturales, significa, entre otras cosas que:

\( a+b=m(x) \), siendo x un natural coprimo con m. Por tanto:

\( mcd(a,b)^n\longrightarrow{(a+b)^n=(m(x))^n} \)

Si se nos pide demostrar que \( mcd(a^n,b^n)=mcd(a,b)^n \) entonces podemos tirar de desarrollos binomiales, donde \( C_n \) son los coeficientes binomiales:

\( a^n+b^n=(a+b)^n -[C_1·a^{n-1}b+C_2·a^{n-2}b^2+...+C_x·a·b^{n-1}] \),

Dado  que \( a,b \) comparten el factor común \( m  \), el hecho de multiplicar \( a·b \) es como si se multiplicara \( m·m(y) \), siendo \( y \) un natural.

Entonces, dado que todo este carro \( [C_1·a^{n-1}b+C_2·a^{n-2}b^2+...+C_x·a·b^{n-1}] \) es una suma de \( a^i·b^j \) (además de su coeficiente binomial \( C_n \) que podría tener también a \( m \) como factor común), podemos considerarla como si fuera una suma de \( m^i·m^j(y) \).

Y dado que en todos los sumandos los exponentes \( i,j \) de sus \( a,b \) siempre suman \( i+j=n \), entonces tenemos que todo este carro, que puede ser tan grande como queramos que sea de grande \( n \), tendrá de factor común, como mínimo, \( m^n \).

Por consiguiente, siempre podemos expresar lo siguiente:

\( a^n+b^n=(m(x))^n+m^n(v)=m^r(r) \), demostrando con ello que \( mcd(a^n,b^n)=mcd(a,b)^n \). 

 

 

[Juan Pablo Sancho]

\( mcd(6,2) = 2  \) pero \( 6+2 = 8 = 2 \cdot 4  \) con \( mcd(2,4)=2 \) no son coprimos.

[feriva]

¿Lo ven bien? y como podria escribirlo bien o con eso basta? Gracias

Otra forma que puede ser cómoda (pero hace falta añadir por escrito la aclaración que hago):

Si \( \Pi p_{i} \) es el producto de todos los factores comunes de a,b tales que \( p_{i}=p_{j} \) ó \( p_{i}\neq p_{j} \) (o sea, se consideran posibles primos repetidos) entonces:

\( MCD(a,b)=\Pi p_{i}\Rightarrow{} \)

\( MCD(a^{n},b^{n})=\Pi p_{i}^{n} \)*

Pero \( \Pi p_{i}^{n}=(\Pi p_{i})^{n} \), luego \( MCD(a^{n},b^{n})=(MCD(a,b))^{n} \).

*(se supone sabido el TFA, no hace falta explicarlo cada vez que se demuestra algo).

Saludos.

[RDC]

\( mcd(6,2) = 2  \) pero \( 6+2 = 8 = 2 \cdot 4  \) con \( mcd(2,4)=2 \) no son coprimos.

Gracias Juan; pues a+b=m(x) siendo un natural cualquiera.