Hola, tengo un ejercicio muy similar y quiero saber si esta bien
¿Existen \( a,b\in{\mathbb{Z^+}} \) tal que \( 7a^2=11b^2 \) ?
Con el argumento del ejercicio anterior no puedo, ya que al usar este obtendremos que tengo factores que aparecen una cantidad par de veces y uno solo que aparece una cantidad impar, esto de los dos lados de la ec, osea \( 7*(p_1^{2\alpha}*...*p_r^{2\alpha_r})=11(b_1^{2\beta}*...*b_r^{2\beta_r}) \)
Lo que se me ocurrió es hacer lo siguiente, tenemos que \( 11|7a^2 \), entonces por lema de euclides \( 11|a^2 \) luego por un corolario de este y al ser 11 primo luego \( 11|a \) como \( 11|a \) luego la igualdad anterior quedaría así
\( 7*(11^{2\alpha_1}*p_2^{2\alpha_2}*...*p_r^{2\alpha_r})=11(b_1^{2\beta}*...*b_r^{2\beta_r}) \)
Luego observar que del lado izquierdo, el 11 aparece una cantidad par de veces, del lado derecho el 11 aparece una cantidad impar de veces, en el peor caso dentro de b puede haber un 11, pero al estar al cuadrado, ese 11 saldrá con exponente par, entonces quedaría algo así
\( 7*(11^{2\alpha_1}*p_2^{2\alpha_2}*...*p_r^{2\alpha_r})=11*11^{2\beta}(b_2^{2\beta_2}*...*b_r^{2\beta_r}) \) luego propiedades de la potencia
\( 7*(11^{2\alpha_1}*p_2^{2\alpha_2}*...*p_r^{2\alpha_r})=11^{{2\beta}+1}(b_2^{2\beta_2}*...*b_r^{2\beta_r}) \)
y bueno, va a quedar impar siempre, entonces absurdo
Luego en el post anterior, capaz que no me explique y no entendí bien, capaz era el mismo argumento, habian dicho que 2|a entonces
\( (2^{2\alpha}*...*p_r^{2\alpha_r})=2^3*(b_1^{2\beta}*...*b_r^{2\beta_r}) \)
Y tenemos el factor 2 que aparece una cantidad par y del otro lado de la igualdad una impar
Muchas gracias
